Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 3$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 3) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.6.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.6.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.6.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.6.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.6.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.6.3.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.6.3.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.6.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}$ .

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Étape 1.1.1.6.3.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 0}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.6.3.2.2

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}})$

Étape 1.1.2.2

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}})$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez ${(x^{2} + 3)}^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 3$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Étape 1.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Étape 1.1.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 3$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1.2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Étape 1.1.2.5.2

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de ${(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

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Étape 1.1.2.5.2.1

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Étape 1.1.2.5.2.2

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de $- 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Étape 1.1.2.5.2.3

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Étape 1.1.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.6.1

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}})$

Étape 1.1.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}})$

Étape 1.1.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Étape 1.1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Étape 1.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Étape 1.1.2.9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Étape 1.1.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Étape 1.1.2.10.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Étape 1.1.2.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Étape 1.1.2.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Étape 1.1.2.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Étape 1.1.2.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Étape 1.1.2.15

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Étape 1.1.2.16

Associez $6$ et $\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 1.1.2.17

Simplifiez

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Étape 1.1.2.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 1.1.2.17.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.17.2.1

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$f'' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 1.1.2.17.2.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- 18 x^{2} + 18 = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Soustrayez $18$ des deux côtés de l’équation.

$- 18 x^{2} = - 18$

Étape 1.2.3.2

Divisez chaque terme dans $- 18 x^{2} = - 18$ par $- 18$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 18 x^{2} = - 18$ par $- 18$ .

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

Étape 1.2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 18$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

Étape 1.2.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 18}{- 18}$

Étape 1.2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.3.1

Divisez $- 18$ par $- 18$ .

$x^{2} = 1$

Étape 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 1.2.3.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 1.2.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 1.2.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 1.2.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ .

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Étape 2.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} + 3 = 0$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 3$

Étape 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Étape 2.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Étape 2.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Étape 2.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{3}$

Étape 2.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 2.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = \frac{- 18 {(- 4)}^{2} + 18}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 18 \cdot 16 + 18}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 18$ par $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 288 + 18}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 4.2.1.3

Additionnez $- 288$ et $18$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 270}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 270}{{(16 + 3)}^{3}}$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $16$ et $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 270}{19^{3}}$

Étape 4.2.2.3

Élevez $19$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 270}{6859}$

Étape 4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 4) = - \frac{270}{6859}$

Étape 4.2.4

La réponse finale est $- \frac{270}{6859}$ .

$- \frac{270}{6859}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - 1)$ car $f'' (- 4)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 1)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 1, 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = \frac{- 18 {(0)}^{2} + 18}{{({(0)}^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 18 \cdot 0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 18$ par $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 5.2.1.3

Additionnez $0$ et $18$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0 + 3)}^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$f'' (0) = \frac{18}{3^{3}}$

Étape 5.2.2.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f'' (0) = \frac{18}{27}$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun à $18$ et $27$ .

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Étape 5.2.3.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$f'' (0) = \frac{9 (2)}{27}$

Étape 5.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.2.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Étape 5.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Étape 5.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (0) = \frac{2}{3}$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- 1, 1)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- 1, 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = \frac{- 18 {(4)}^{2} + 18}{{({(4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = \frac{- 18 \cdot 16 + 18}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 18$ par $16$ .

$f'' (4) = \frac{- 288 + 18}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 6.2.1.3

Additionnez $- 288$ et $18$ .

$f'' (4) = \frac{- 270}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = \frac{- 270}{{(16 + 3)}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $16$ et $3$ .

$f'' (4) = \frac{- 270}{19^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $19$ à la puissance $3$ .

$f'' (4) = \frac{- 270}{6859}$

Étape 6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (4) = - \frac{270}{6859}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $- \frac{270}{6859}$ .

$- \frac{270}{6859}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(1, \infty)$ car $f'' (4)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(1, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 1)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- 1, 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(1, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8