Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3}$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3}$

Étape 2.2.2

Déplacez $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3}$

Étape 2.2.3

Déplacez $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3}$

Étape 2.2.4

Déplacez $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3}$

Étape 2.2.5

Remettez dans l’ordre $3 h^{2} x$ et $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3}$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3}$

$f (x) = x^{3}$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3}$

$f (x) = x^{3}$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - (x^{3})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0}{h}$

Étape 4.1.2

Additionnez $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

Étape 4.1.3

Factorisez $h$ à partir de $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ .

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Étape 4.1.3.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Factorisez $h$ à partir de $3 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Factorisez $h$ à partir de $3 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

Étape 4.1.3.4

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

Étape 4.1.3.5

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Étape 4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.1

Déplacez $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2}$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2}$

Étape 4.2.2.3

Remettez dans l’ordre $3 x h$ et $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Étape 6

Évaluez la limite de $3 x^{2}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Étape 7

Placez le terme $3 x$ hors de la limite car il est constant par rapport à $h$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $h^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Multipliez $3 x \cdot 0$ .

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Étape 10.1.1.1

Multipliez $0$ par $3$ .

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2}$

Étape 10.1.1.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 0^{2}$

Étape 10.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0$

Étape 10.2

Associez les termes opposés dans $3 x^{2} + 0 + 0$ .

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Étape 10.2.1

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 10.2.2

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2}$

Étape 11