Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3 x - 9}{2 x + 8}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x - 9}{2 x + 8})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x - 9$ et $g (x) = 2 x + 8$ .

$\frac{(2 x + 8) \frac{d}{d x} [3 x - 9] - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(2 x + 8) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.5

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 + 0) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{(2 x + 8) \cdot 3 - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $2 x + 8$ .

$\frac{3 \cdot (2 x + 8) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.11

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 + 0)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.12.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) \cdot 2}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.12.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - 2 (3 x - 9)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x - 9)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.3.1

Associez les termes opposés dans $3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 9$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $3 (2 x)$ et $- 2 (3 x)$ .

$\frac{2 \cdot 3 x + 3 \cdot 8 - 2 \cdot 3 x - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.3.1.2

Soustrayez $2 \cdot 3 x$ de $2 \cdot 3 x$ .

$\frac{3 \cdot 8 + 0 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.3.1.3

Additionnez $3 \cdot 8$ et $0$ .

$\frac{3 \cdot 8 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.2.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{24 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 9$ .

$\frac{24 + 18}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.3.3

Additionnez $24$ et $18$ .

$\frac{42}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 8$ .

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Étape 3.3.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{42}{{(2 (x) + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{42}{{(2 x + 2 \cdot 4)}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 4$ .

$\frac{42}{{(2 (x + 4))}^{2}}$

Étape 3.3.4.2

Appliquez la règle de produit à $2 (x + 4)$ .

$\frac{42}{2^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Étape 3.3.4.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{42}{4 {(x + 4)}^{2}}$

Étape 3.3.5

Annulez le facteur commun à $42$ et $4$ .

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Étape 3.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $42$ .

$\frac{2 (21)}{4 {(x + 4)}^{2}}$

Étape 3.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 {(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{2 (21)}{2 (2 {(x + 4)}^{2})}$

Étape 3.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 21}{2 (2 {(x + 4)}^{2})}$

Étape 3.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{21}{2 {(x + 4)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{21}{2 {(x + 4)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{2 {(x + 4)}^{2}}$