Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x - 3}{x^{3}} d x$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x - 3) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x - 3) x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 1.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int (x - 3) x^{- 3} d x$

Étape 2

Multipliez $(x - 3) x^{- 3}$ .

$\int x \cdot x^{- 3} - 3 x^{- 3} d x$

Étape 3

Multipliez $x$ par $x^{- 3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Multipliez $x$ par $x^{- 3}$ .

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Étape 3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{1} x^{- 3} - 3 x^{- 3} d x$

Étape 3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{1 - 3} - 3 x^{- 3} d x$

Étape 3.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\int x^{- 2} - 3 x^{- 3} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{- 2} d x + \int - 3 x^{- 3} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int - 3 x^{- 3} d x$

Étape 6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$- x^{- 1} + C - 3 \int x^{- 3} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- x^{- 1} + C - 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Étape 8

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Étape 8.1

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Étape 8.1.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- x^{- 1} + C - 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Étape 8.1.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C - 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Étape 8.2

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$- \frac{1}{x} - 3 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Étape 8.3

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Étape 8.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- \frac{1}{x} + 3 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 8.3.2

Associez $3$ et $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{3}{2 x^{2}} + C$