Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{e} x^{2} \ln (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{x} d x)$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Étape 4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{1} d x)$

Étape 4.2.2.5

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ sur $e$ et sur $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e}$

Étape 6.2

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3}$ sur $e$ et sur $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.2

Multipliez $\ln (1)$ par $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Étape 6.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 6.3.6

Pour écrire $- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Étape 6.3.7

Associez $- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Étape 6.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (e) e^{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Étape 6.3.9

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} - 3 (\frac{1}{3}) (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Étape 6.3.10

Associez $- 3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{- 3}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Étape 6.3.11

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 6.3.11.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Étape 6.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Étape 6.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Étape 6.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{- 1}{1} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Étape 6.3.11.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (e) e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\frac{1 e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

Étape 7.2.2

Multipliez $e^{3}$ par $1$ .

$\frac{e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

Étape 7.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} - - \frac{1}{3} - \ln (1)}{3}$

Étape 7.2.4

Multipliez $- - \frac{1}{3}$ .

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Étape 7.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + 1 (\frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

Étape 7.2.4.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} - \ln (1)}{3}$

Étape 7.2.5

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} - 0}{3}$

Étape 7.2.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} + 0}{3}$

Étape 7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{3} + \frac{- e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Étape 7.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Étape 7.5

Pour écrire $e^{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Étape 7.6

Associez $e^{3}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3}{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Étape 7.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3 - e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Étape 7.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3 - e^{3} + 1}{3}}{3}$

Étape 7.9

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3}$ .

$\frac{\frac{3 e^{3} - e^{3} + 1}{3}}{3}$

Étape 7.10

Soustrayez $e^{3}$ de $3 e^{3}$ .

$\frac{\frac{2 e^{3} + 1}{3}}{3}$

Étape 7.11

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 e^{3} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 7.12

Multipliez $\frac{2 e^{3} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 7.12.1

Multipliez $\frac{2 e^{3} + 1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

Étape 7.12.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Forme décimale :

$4.57456376 \dots$