Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 2}^{- 1} u - \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 2}^{- 1} u d u + \int_{- 2}^{- 1} - \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 2}^{- 1} + \int_{- 2}^{- 1} - \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 2}^{- 1} - \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 2}^{- 1} - \int_{- 2}^{- 1} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 2}^{- 1} - \int_{- 2}^{- 1} u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 2}^{- 1} - \int_{- 2}^{- 1} u^{- 2} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 2}^{- 1} - (- u^{- 1}]_{- 2}^{- 1})$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Évaluez $\frac{1}{2} u^{2}$ sur $- 1$ et sur $- 2$ .

$(\frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} - (- u^{- 1}]_{- 2}^{- 1})$

Étape 6.2

Évaluez $- u^{- 1}$ sur $- 1$ et sur $- 2$ .

$\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 6.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 6.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 6.3.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4 - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 6.3.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} - 4 (\frac{1}{2}) - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 6.3.5

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 4}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 6.3.6

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 6.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 6.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 6.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} + \frac{- 2}{1} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 6.3.6.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - 2 - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 6.3.7

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 6.3.8

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 6.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 2 \cdot 2}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 6.3.10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.10.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{1 - 4}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 6.3.10.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{- 3}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 6.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{2} - (- {(- 1)}^{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 6.3.12

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2} - (- \frac{1}{- 1} + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 6.3.13

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1}{- 1}$ .

$- \frac{3}{2} - (- (- 1 \cdot 1) + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 6.3.14

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{3}{2} - (- - 1 + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 6.3.15

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{3}{2} - (1 + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 6.3.16

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2} - (1 + \frac{1}{- 2})$

Étape 6.3.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{2} - (1 - \frac{1}{2})$

Étape 6.3.18

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{3}{2} - (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 6.3.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{3}{2} - \frac{2 - 1}{2}$

Étape 6.3.20

Soustrayez $1$ de $2$ .

$- \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 6.3.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 - 1}{2}$

Étape 6.3.22

Soustrayez $1$ de $- 3$ .

$\frac{- 4}{2}$

Étape 6.3.23

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.23.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2}$

Étape 6.3.23.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.23.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Étape 6.3.23.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.23.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{1}$

Étape 6.3.23.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 7