Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 2}^{- 1} 2 x {(4 - x^{2})}^{3} d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{- 2}^{- 1} x {(4 - x^{2})}^{3} d x$

Étape 2

Laissez $u = 4 - x^{2}$ . Alors $d u = - 2 x d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 4 - x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $4 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 x$

Étape 2.1.4

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 4 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 4 - {(- 2)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$u_{lower} = 4 - 1 \cdot 4$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$u_{lower} = 4 - 4$

Étape 2.3.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 4 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 4 - {(- 1)}^{2}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 2.5.1.1.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$u_{upper} = 4 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}$

Étape 2.5.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$u_{upper} = 4 + {(- 1)}^{1 + 2}$

Étape 2.5.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$u_{upper} = 4 + {(- 1)}^{3}$

Étape 2.5.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$u_{upper} = 4 - 1$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$u_{upper} = 3$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 \int_{0}^{3} u^{3} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int_{0}^{3} u^{3} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 3.2

Associez $u^{3}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{0}^{3} - \frac{u^{3}}{2} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \int_{0}^{3} \frac{u^{3}}{2} d u)$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \int_{0}^{3} \frac{u^{3}}{2} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 (\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^{3} d u)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Étape 7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Étape 7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Étape 7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{1} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Étape 7.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- \int_{0}^{3} u^{3} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{3})$

Étape 9

Associez $\frac{1}{4}$ et $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{0}^{3})$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $\frac{u^{4}}{4}$ sur $3$ et sur $0$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 10.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{4})$

Étape 10.2.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 10.2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Étape 10.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Étape 10.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Étape 10.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{1})$

Étape 10.2.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- (\frac{81}{4} - 0)$

Étape 10.2.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- (\frac{81}{4} + 0)$

Étape 10.2.5

Additionnez $\frac{81}{4}$ et $0$ .

$- \frac{81}{4}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{81}{4}$

Forme décimale :

$- 20.25$

Forme de nombre mixte :

$- 20 \frac{1}{4}$

Étape 12