Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3} 3 t^{2} + 7 d t$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{3} 3 t^{2} d t + \int_{1}^{3} 7 d t$

Étape 2

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{1}^{3} t^{2} d t + \int_{1}^{3} 7 d t$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 7 d t$

Étape 4

Associez $\frac{1}{3}$ et $t^{3}$ .

$3 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 7 d t$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$3 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 7 t]_{1}^{3}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{t^{3}}{3}$ sur $3$ et sur $1$ .

$3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 7 t]_{1}^{3}$

Étape 6.2

Évaluez $7 t$ sur $3$ et sur $1$ .

$3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$3 (\frac{27}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Étape 6.3.2

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Étape 6.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Étape 6.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Étape 6.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{9}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Étape 6.3.2.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$3 (9 - \frac{1^{3}}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Étape 6.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 (9 - \frac{1}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Étape 6.3.4

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Étape 6.3.5

Associez $9$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Étape 6.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{9 \cdot 3 - 1}{3} + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Étape 6.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.7.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$3 \frac{27 - 1}{3} + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Étape 6.3.7.2

Soustrayez $1$ de $27$ .

$3 (\frac{26}{3}) + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Étape 6.3.8

Associez $3$ et $\frac{26}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 26}{3} + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Étape 6.3.9

Multipliez $3$ par $26$ .

$\frac{78}{3} + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Étape 6.3.10

Annulez le facteur commun à $78$ et $3$ .

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Étape 6.3.10.1

Factorisez $3$ à partir de $78$ .

$\frac{3 \cdot 26}{3} + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Étape 6.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 26}{3 (1)} + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Étape 6.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 26}{3 \cdot 1} + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Étape 6.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{26}{1} + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Étape 6.3.10.2.4

Divisez $26$ par $1$ .

$26 + 7 \cdot 3 - 7 \cdot 1$

Étape 6.3.11

Multipliez $7$ par $3$ .

$26 + 21 - 7 \cdot 1$

Étape 6.3.12

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$26 + 21 - 7$

Étape 6.3.13

Soustrayez $7$ de $21$ .

$26 + 14$

Étape 6.3.14

Additionnez $26$ et $14$ .

$40$

Étape 7