Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} 3 x^{5} - 2 x^{3} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} 3 x^{5} d x + \int_{1}^{2} - 2 x^{3} d x$

Étape 2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{1}^{2} x^{5} d x + \int_{1}^{2} - 2 x^{3} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$3 (\frac{1}{6} x^{6}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 2 x^{3} d x$

Étape 4

Associez $\frac{1}{6}$ et $x^{6}$ .

$3 (\frac{x^{6}}{6}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 2 x^{3} d x$

Étape 5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{x^{6}}{6}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x^{3} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{6}}{6}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{6}}{6}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\frac{x^{6}}{6}$ sur $2$ et sur $1$ .

$3 ((\frac{2^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}) - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $2$ et sur $1$ .

$3 (\frac{2^{6}}{6} - \frac{1^{6}}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$3 (\frac{64}{6} - \frac{1^{6}}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.2

Annulez le facteur commun à $64$ et $6$ .

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Étape 7.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$3 (\frac{2 (32)}{6} - \frac{1^{6}}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$3 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1^{6}}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1^{6}}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{32}{3} - \frac{1^{6}}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 (\frac{32}{3} - \frac{1}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.4

Pour écrire $\frac{32}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{32}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.5.1

Multipliez $\frac{32}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{32 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$3 (\frac{32 \cdot 2}{6} - \frac{1}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{32 \cdot 2 - 1}{6} - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.7.1

Multipliez $32$ par $2$ .

$3 \frac{64 - 1}{6} - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.7.2

Soustrayez $1$ de $64$ .

$3 (\frac{63}{6}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.8

Annulez le facteur commun à $63$ et $6$ .

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Étape 7.2.3.8.1

Factorisez $3$ à partir de $63$ .

$3 \frac{3 (21)}{6} - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2} - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2} - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{21}{2}) - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.9

Associez $3$ et $\frac{21}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 21}{2} - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.10

Multipliez $3$ par $21$ .

$\frac{63}{2} - 2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.11

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{63}{2} - 2 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.12

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 7.2.3.12.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{63}{2} - 2 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.12.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{63}{2} - 2 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{63}{2} - 2 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{63}{2} - 2 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.12.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$\frac{63}{2} - 2 (4 - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 7.2.3.13

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{63}{2} - 2 (4 - \frac{1}{4})$

Étape 7.2.3.14

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{63}{2} - 2 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

Étape 7.2.3.15

Associez $4$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{63}{2} - 2 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4})$

Étape 7.2.3.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{63}{2} - 2 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4}$

Étape 7.2.3.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.17.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{63}{2} - 2 \frac{16 - 1}{4}$

Étape 7.2.3.17.2

Soustrayez $1$ de $16$ .

$\frac{63}{2} - 2 (\frac{15}{4})$

Étape 7.2.3.18

Associez $- 2$ et $\frac{15}{4}$ .

$\frac{63}{2} + \frac{- 2 \cdot 15}{4}$

Étape 7.2.3.19

Multipliez $- 2$ par $15$ .

$\frac{63}{2} + \frac{- 30}{4}$

Étape 7.2.3.20

Annulez le facteur commun à $- 30$ et $4$ .

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Étape 7.2.3.20.1

Factorisez $2$ à partir de $- 30$ .

$\frac{63}{2} + \frac{2 (- 15)}{4}$

Étape 7.2.3.20.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.20.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{63}{2} + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.3.20.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{63}{2} + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.3.20.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{63}{2} + \frac{- 15}{2}$

Étape 7.2.3.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{63}{2} - \frac{15}{2}$

Étape 7.2.3.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{63 - 15}{2}$

Étape 7.2.3.23

Soustrayez $15$ de $63$ .

$\frac{48}{2}$

Étape 7.2.3.24

Annulez le facteur commun à $48$ et $2$ .

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Étape 7.2.3.24.1

Factorisez $2$ à partir de $48$ .

$\frac{2 \cdot 24}{2}$

Étape 7.2.3.24.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.24.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 24}{2 (1)}$

Étape 7.2.3.24.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.24.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{24}{1}$

Étape 7.2.3.24.2.4

Divisez $24$ par $1$ .

$24$

Étape 8