Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{π} x \cos (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \cos (x)$ .

$x \sin (x)]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \sin (x) d x$

Étape 2

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$x \sin (x)]_{0}^{π} - (- \cos (x)]_{0}^{π})$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Évaluez $x \sin (x)$ sur $π$ et sur $0$ .

$(π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{π})$

Étape 3.1.2

Évaluez $- \cos (x)$ sur $π$ et sur $0$ .

$(π \sin (π)) + 0 \sin (0) - ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Étape 3.1.3

Simplifiez

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Étape 3.1.3.1

Multipliez $0$ par $\sin (0)$ .

$π \sin (π) + 0 - ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Étape 3.1.3.2

Additionnez $π \sin (π)$ et $0$ .

$π \sin (π) - (- \cos (π) + \cos (0))$

Étape 3.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$π \sin (π) - (- \cos (π) + 1)$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$π \sin (0) - (- \cos (π) + 1)$

Étape 3.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$π \cdot 0 - (- \cos (π) + 1)$

Étape 3.3.3

Multipliez $π$ par $0$ .

$0 - (- \cos (π) + 1)$

Étape 3.3.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$0 - (- - \cos (0) + 1)$

Étape 3.3.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 - (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Étape 3.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - (- - 1 + 1)$

Étape 3.3.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 - (1 + 1)$

Étape 3.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$0 - 1 \cdot 2$

Étape 3.3.9

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 - 2$

Étape 3.3.10

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 2$