Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} 8 x e^{x^{2}} d x$

Étape 1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int_{0}^{2} x e^{x^{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Alors $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Étape 2.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Étape 2.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{2^{2}}$

Étape 2.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = e^{4}$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{4}$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$8 \int_{1}^{e^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$8 (\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{4}})$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $u_{2}$ .

$8 (\frac{u_{2}}{2}]_{1}^{e^{4}})$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{u_{2}}{2}$ sur $e^{4}$ et sur $1$ .

$8 (\frac{e^{4}}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$2 (4) \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 4 \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 e^{4} + 8 (- \frac{1}{2})$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$4 e^{4} + 8 (\frac{- 1}{2})$

Étape 5.3.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$4 e^{4} + 2 (4) \frac{- 1}{2}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun.

$4 e^{4} + 2 \cdot 4 \frac{- 1}{2}$

Étape 5.3.4

Réécrivez l’expression.

$4 e^{4} + 4 \cdot - 1$

Étape 5.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 e^{4} - 4$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$4 e^{4} - 4$

Forme décimale :

$214.39260013 \dots$

Étape 7