Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2 π} x \sin (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} - \cos (x) d x$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x (- \cos (x))]_{0}^{2 π} - - \int_{0}^{2 π} \cos (x) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{2 π} + 1 \int_{0}^{2 π} \cos (x) d x$

Étape 3.2

Multipliez $\int_{0}^{2 π} \cos (x) d x$ par $1$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} \cos (x) d x$

Étape 4

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{2 π} + \sin (x)]_{0}^{2 π}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $x (- \cos (x))]_{0}^{2 π}$ et $\sin (x)]_{0}^{2 π}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{0}^{2 π}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ sur $2 π$ et sur $0$ .

$(2 π (- \cos (2 π)) + \sin (2 π)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (0 \cos (0) + \sin (0))$

Étape 5.2.2.3

Multipliez $0$ par $\cos (0)$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (0 + \sin (0))$

Étape 5.2.2.4

Additionnez $0$ et $\sin (0)$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - \sin (0)$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - 0$

Étape 5.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) + 0$

Étape 5.3.3

Additionnez $- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π)$ et $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π)$

Étape 5.4

Simplifiez

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Étape 5.4.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 2 π \cos (0) + \sin (2 π)$

Étape 5.4.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 2 π \cdot 1 + \sin (2 π)$

Étape 5.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 π + \sin (2 π)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 2 π + \sin (0)$

Étape 6.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 2 π + 0$

Étape 6.2

Additionnez $- 2 π$ et $0$ .

$- 2 π$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 2 π$

Forme décimale :

$- 6.28318530 \dots$