Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\ln (2)} x e^{x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$x e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{\ln (2)} e^{x} d x$

Étape 2

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$x e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - (e^{x}]_{0}^{\ln (2)})$

Étape 3

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.1

Évaluez $x e^{x}$ sur $\ln (2)$ et sur $0$ .

$(\ln (2) e^{\ln (2)}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{\ln (2)})$

Étape 3.2

Évaluez $e^{x}$ sur $\ln (2)$ et sur $0$ .

$(\ln (2) e^{\ln (2)}) + 0 e^{0} - ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\ln (2) \cdot 2 + 0 e^{0} - ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

Étape 3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (2)$ .

$2 \cdot \ln (2) + 0 e^{0} - ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

Étape 3.3.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$2 \ln (2) + 0 \cdot 1 - ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

Étape 3.3.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$2 \ln (2) + 0 - ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

Étape 3.3.5

Additionnez $2 \ln (2)$ et $0$ .

$2 \ln (2) - ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

Étape 3.3.6

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$2 \ln (2) - (2 - e^{0})$

Étape 3.3.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$2 \ln (2) - (2 - 1 \cdot 1)$

Étape 3.3.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \ln (2) - (2 - 1)$

Étape 3.3.9

Soustrayez $1$ de $2$ .

$2 \ln (2) - 1 \cdot 1$

Étape 3.3.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \ln (2) - 1$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 \ln (2) - 1$

Forme décimale :

$0.38629436 \dots$

Étape 5