Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} {(1 - 4 x)}^{2} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 - 4 x$ . Alors $d u = - 4 d x$ , donc $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 - 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$0 - 4$

Étape 1.1.4

Soustrayez $4$ de $0$ .

$- 4$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 - 4 x$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 - 4 x$ .

$u_{upper} = 1 - 4 \cdot 2$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$u_{upper} = 1 - 8$

Étape 1.5.2

Soustrayez $8$ de $1$ .

$u_{upper} = - 7$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 7$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{- 7} u^{2} \frac{1}{- 4} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{- 7} u^{2} (- \frac{1}{4}) d u$

Étape 2.2

Associez $u^{2}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{- 7} - \frac{u^{2}}{4} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{1}^{- 7} \frac{u^{2}}{4} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{4} \int_{1}^{- 7} u^{2} d u)$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{- 7}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{1}{3} u^{3}$ sur $- 7$ et sur $1$ .

$- \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} {(- 7)}^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Élevez $- 7$ à la puissance $3$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot - 343 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 343$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{- 343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4} (- \frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{4} (- \frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Étape 6.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{343}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 6.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- 343 - 1}{3}$

Étape 6.2.7

Soustrayez $1$ de $- 343$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- 344}{3}$

Étape 6.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4} (- \frac{344}{3})$

Étape 6.2.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{344}{3}$

Étape 6.2.10

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{344}{3}$

Étape 6.2.11

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{344}{3}$ .

$\frac{344}{4 \cdot 3}$

Étape 6.2.12

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{344}{12}$

Étape 6.2.13

Annulez le facteur commun à $344$ et $12$ .

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Étape 6.2.13.1

Factorisez $4$ à partir de $344$ .

$\frac{4 (86)}{12}$

Étape 6.2.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.13.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{4 \cdot 86}{4 \cdot 3}$

Étape 6.2.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 86}{4 \cdot 3}$

Étape 6.2.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{86}{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{86}{3}$

Forme décimale :

$28.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$28 \frac{2}{3}$

Étape 8