Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\sqrt{π}} x \sin (x^{2}) d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Étape 1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

Étape 1.5

Réécrivez ${\sqrt{π}}^{2}$ comme $π$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{π}$ comme $π^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Étape 1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Étape 1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = π^{1}$

Étape 1.5.5

Simplifiez

$u_{upper} = π$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Étape 5

Évaluez $- \cos (u)$ sur $π$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \cos (0))$

Étape 6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + 1)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{1}{2} (- - \cos (0) + 1)$

Étape 7.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Étape 7.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (- - 1 + 1)$

Étape 7.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (1 + 1)$

Étape 7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Étape 7.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Étape 7.6.2

Réécrivez l’expression.

$1$