Calcul infinitésimal Exemples

$\int \cot (x) \ln (\sin (x)) d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \ln (\sin (x))$ . Alors $d u_{2} = \cot (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cot (x)} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \ln (\sin (x))$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\ln (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.3

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x)$

Étape 1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.5.1

Réorganisez les facteurs de $\csc (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \csc (x)$

Étape 1.1.5.2

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 1.1.5.3

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 1.1.5.4

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\cot (x)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int u_{2} d u_{2}$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\ln (\sin (x))$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (\sin (x)) + C$