Calcul infinitésimal Exemples

$\int 5 x \sqrt[3]{1 - x^{2}} d x$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int x \sqrt[3]{1 - x^{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 1 - x^{2}$ . Alors $d u = - 2 x d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 1 - x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 x$

Étape 2.1.4

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$5 \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 \int \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 3.2

Associez $\sqrt[3]{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$5 \int - \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 (- \int \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u)$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- 5 (\frac{1}{2} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 5$ .

$\frac{- 5}{2} \int \sqrt[3]{u} d u$

Étape 7.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{2} \int \sqrt[3]{u} d u$

Étape 7.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u}$ comme $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{5}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Réécrivez $- \frac{5}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ comme $- \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{5}{2}$ .

$- \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 9.2.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$- \frac{15}{4 \cdot 2} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 9.2.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{15}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2}$ .

$- \frac{15}{8} {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}} + C$