Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 3}^{2} x^{2} + x - 6 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 3}^{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} - 6 d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} - 6 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + \int_{- 3}^{2} - 6 d x$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + - 6 x]_{- 3}^{2}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Associez $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2}$ et $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + - 6 x]_{- 3}^{2}$

Étape 5.1.2

Associez $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2}$ et $- 6 x]_{- 3}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 6 x]_{- 3}^{2}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 6 x$ sur $2$ et sur $- 3$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$\frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4 - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{8}{3} + \frac{4}{2} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 5.2.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{3} + \frac{2}{1} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.5.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{8}{3} + 2 - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.6

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.7

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 + 2 \cdot 3}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.9.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{8 + 6}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.9.2

Additionnez $8$ et $6$ .

$\frac{14}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.10

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$\frac{14}{3} - 12 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.11

Pour écrire $- 12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} - 12 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.12

Associez $- 12$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} + \frac{- 12 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{14 - 12 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.14.1

Multipliez $- 12$ par $3$ .

$\frac{14 - 36}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.14.2

Soustrayez $36$ de $14$ .

$\frac{- 22}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{22}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.16

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 27 + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.17

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 27$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 27}{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.18

Annulez le facteur commun à $- 27$ et $3$ .

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Étape 5.2.2.18.1

Factorisez $3$ à partir de $- 27$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{3 \cdot - 9}{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.18.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 (1)} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{22}{3} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 9}{1} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.18.2.4

Divisez $- 9$ par $1$ .

$- \frac{22}{3} - (- 9 + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.19

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{22}{3} - (- 9 + \frac{1}{2} \cdot 9 - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.20

Associez $\frac{1}{2}$ et $9$ .

$- \frac{22}{3} - (- 9 + \frac{9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.21

Pour écrire $- 9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{22}{3} - (- 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.22

Associez $- 9$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 9 \cdot 2 + 9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.24

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.24.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 18 + 9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.24.2

Additionnez $- 18$ et $9$ .

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.25

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{22}{3} - (- \frac{9}{2} - 6 \cdot - 3)$

Étape 5.2.2.26

Multipliez $- 6$ par $- 3$ .

$- \frac{22}{3} - (- \frac{9}{2} + 18)$

Étape 5.2.2.27

Pour écrire $18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{22}{3} - (- \frac{9}{2} + 18 \cdot \frac{2}{2})$

Étape 5.2.2.28

Associez $18$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{22}{3} - (- \frac{9}{2} + \frac{18 \cdot 2}{2})$

Étape 5.2.2.29

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{22}{3} - \frac{- 9 + 18 \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.2.30

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.30.1

Multipliez $18$ par $2$ .

$- \frac{22}{3} - \frac{- 9 + 36}{2}$

Étape 5.2.2.30.2

Additionnez $- 9$ et $36$ .

$- \frac{22}{3} - \frac{27}{2}$

Étape 5.2.2.31

Pour écrire $- \frac{22}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{22}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2}$

Étape 5.2.2.32

Pour écrire $- \frac{27}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{22}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.2.2.33

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.2.33.1

Multipliez $\frac{22}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{22 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{27}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.2.2.33.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{22 \cdot 2}{6} - \frac{27}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.2.2.33.3

Multipliez $\frac{27}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{22 \cdot 2}{6} - \frac{27 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Étape 5.2.2.33.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{22 \cdot 2}{6} - \frac{27 \cdot 3}{6}$

Étape 5.2.2.34

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 22 \cdot 2 - 27 \cdot 3}{6}$

Étape 5.2.2.35

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.35.1

Multipliez $- 22$ par $2$ .

$\frac{- 44 - 27 \cdot 3}{6}$

Étape 5.2.2.35.2

Multipliez $- 27$ par $3$ .

$\frac{- 44 - 81}{6}$

Étape 5.2.2.35.3

Soustrayez $81$ de $- 44$ .

$\frac{- 125}{6}$

Étape 5.2.2.36

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{125}{6}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{125}{6}$

Forme décimale :

$- 20.8\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$- 20 \frac{5}{6}$

Étape 7