Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{4} x^{2} - 6 x + 9 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{2}^{4} x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 6 x d x + \int_{2}^{4} 9 d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} - 6 x d x + \int_{2}^{4} 9 d x$

Étape 3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} - 6 \int_{2}^{4} x d x + \int_{2}^{4} 9 d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} 9 d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} 9 d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + 9 x]_{2}^{4}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4}$ et $9 x]_{2}^{4}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 9 x]_{2}^{4} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} + 9 x$ sur $4$ et sur $2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + 9 \cdot 4) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + 9 \cdot 4) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 64 + 9 \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $64$ .

$\frac{64}{3} + 9 \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.3

Multipliez $9$ par $4$ .

$\frac{64}{3} + 36 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.4

Pour écrire $36$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + 36 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.5

Associez $36$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{36 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{64 + 36 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.7.1

Multipliez $36$ par $3$ .

$\frac{64 + 108}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.7.2

Additionnez $64$ et $108$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.8

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 8 + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.9

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{8}{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.10

Multipliez $9$ par $2$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{8}{3} + 18) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.11

Pour écrire $18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{8}{3} + 18 \cdot \frac{3}{3}) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.12

Associez $18$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{8}{3} + \frac{18 \cdot 3}{3}) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{172}{3} - \frac{8 + 18 \cdot 3}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.14.1

Multipliez $18$ par $3$ .

$\frac{172}{3} - \frac{8 + 54}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.14.2

Additionnez $8$ et $54$ .

$\frac{172}{3} - \frac{62}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{172 - 62}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.16

Soustrayez $62$ de $172$ .

$\frac{110}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.17

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.18

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 7.2.3.18.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.18.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.19

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{4}{2})$

Étape 7.2.3.20

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 7.2.3.20.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Étape 7.2.3.20.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.20.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Étape 7.2.3.20.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Étape 7.2.3.20.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2}{1})$

Étape 7.2.3.20.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - 1 \cdot 2)$

Étape 7.2.3.21

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - 2)$

Étape 7.2.3.22

Soustrayez $2$ de $8$ .

$\frac{110}{3} - 6 \cdot 6$

Étape 7.2.3.23

Multipliez $- 6$ par $6$ .

$\frac{110}{3} - 36$

Étape 7.2.3.24

Pour écrire $- 36$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{110}{3} - 36 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 7.2.3.25

Associez $- 36$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{110}{3} + \frac{- 36 \cdot 3}{3}$

Étape 7.2.3.26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{110 - 36 \cdot 3}{3}$

Étape 7.2.3.27

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.27.1

Multipliez $- 36$ par $3$ .

$\frac{110 - 108}{3}$

Étape 7.2.3.27.2

Soustrayez $108$ de $110$ .

$\frac{2}{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2}{3}$

Forme décimale :

$0.\overline{6}$

Étape 9