Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 4}^{2} x^{2} + 2 x - 8 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 4}^{2} x^{2} d x + \int_{- 4}^{2} 2 x d x + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} 2 x d x + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + 2 \int_{- 4}^{2} x d x + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{2}) + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{2}) + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{2}) + - 8 x]_{- 4}^{2}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2}$ et $- 8 x]_{- 4}^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 8 x]_{- 4}^{2}$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $- 4$ .

$2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 8 x]_{- 4}^{2}$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} - 8 x$ sur $2$ et sur $- 4$ .

$2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 7.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 (2 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.3

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$2 (2 - \frac{16}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.4

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 7.2.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$2 (2 - \frac{2 \cdot 8}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (2 - \frac{8}{1}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.4.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$2 (2 - 1 \cdot 8) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.5

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$2 (2 - 8) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.6

Soustrayez $8$ de $2$ .

$2 \cdot - 6 + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.7

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$- 12 + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.8

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- 12 + \frac{1}{3} \cdot 8 - 8 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.9

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$- 12 + \frac{8}{3} - 8 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.10

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$- 12 + \frac{8}{3} - 16 - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.11

Pour écrire $- 16$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 12 + \frac{8}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.12

Associez $- 16$ et $\frac{3}{3}$ .

$- 12 + \frac{8}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 12 + \frac{8 - 16 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.14.1

Multipliez $- 16$ par $3$ .

$- 12 + \frac{8 - 48}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.14.2

Soustrayez $48$ de $8$ .

$- 12 + \frac{- 40}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 12 - \frac{40}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.16

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 64 - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.17

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 64$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (\frac{- 64}{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 12 - \frac{40}{3} - (- \frac{64}{3} - 8 \cdot - 4)$

Étape 7.2.3.19

Multipliez $- 8$ par $- 4$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (- \frac{64}{3} + 32)$

Étape 7.2.3.20

Pour écrire $32$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (- \frac{64}{3} + 32 \cdot \frac{3}{3})$

Étape 7.2.3.21

Associez $32$ et $\frac{3}{3}$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (- \frac{64}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3})$

Étape 7.2.3.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 12 - \frac{40}{3} - \frac{- 64 + 32 \cdot 3}{3}$

Étape 7.2.3.23

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.23.1

Multipliez $32$ par $3$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - \frac{- 64 + 96}{3}$

Étape 7.2.3.23.2

Additionnez $- 64$ et $96$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - \frac{32}{3}$

Étape 7.2.3.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 12 + \frac{- 40 - 32}{3}$

Étape 7.2.3.25

Soustrayez $32$ de $- 40$ .

$- 12 + \frac{- 72}{3}$

Étape 7.2.3.26

Annulez le facteur commun à $- 72$ et $3$ .

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Étape 7.2.3.26.1

Factorisez $3$ à partir de $- 72$ .

$- 12 + \frac{3 \cdot - 24}{3}$

Étape 7.2.3.26.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.26.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- 12 + \frac{3 \cdot - 24}{3 (1)}$

Étape 7.2.3.26.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 12 + \frac{3 \cdot - 24}{3 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.26.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 12 + \frac{- 24}{1}$

Étape 7.2.3.26.2.4

Divisez $- 24$ par $1$ .

$- 12 - 24$

Étape 7.2.3.27

Soustrayez $24$ de $- 12$ .

$- 36$

Étape 8