Calcul infinitésimal Exemples

$\int 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Étape 2

Laissez $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Alors $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

Étape 2.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$3 \int \frac{1}{3} d u_{2}$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$3 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ comme $3 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$ .

$3 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} u_{2} + C$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{3} u_{2} + C$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 u_{2} + C$

Étape 4.2.3

Multipliez $u_{2}$ par $1$ .

$u_{2} + C$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{x^{3}}$ .

$e^{x^{3}} + C$