Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{5} (x) d x$

Étape 1

Factorisez $\cos^{4} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{4} (x) \cos (x) d x$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x) d x$

Étape 2.2

Réécrivez ${\cos (x)}^{2 (2)}$ comme une élévation à une puissance.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Étape 3

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cos^{2} (x)$ comme $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Étape 4

Laissez $u = \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Étape 4.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{1} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Étape 5

Développez ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez ${(1 - u^{2})}^{2}$ comme $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int_{0}^{1} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{1} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Étape 5.5

Déplacez $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Étape 5.6

Déplacez $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.7

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.11

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Étape 5.13

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Étape 5.14

Soustrayez $u^{2}$ de $- u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Étape 5.15

Remettez dans l’ordre $- 2 u^{2}$ et $u^{4}$ .

$\int_{0}^{1} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Étape 5.16

Déplacez $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - 2 u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

Étape 8

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d u$

Étape 10

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d u$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1}) + u]_{0}^{1}$

Étape 12

Associez $\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ et $u]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + u]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Étape 13

Remplacez et simplifiez.

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Étape 13.1

Évaluez $\frac{1}{5} u^{5} + u$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Étape 13.2

Évaluez $\frac{u^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 13.3

Simplifiez

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Étape 13.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 13.3.2

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $1$ .

$\frac{1}{5} + 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 13.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 13.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 13.3.5

Additionnez $1$ et $5$ .

$\frac{6}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 13.3.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{6}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 13.3.7

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $0$ .

$\frac{6}{5} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 13.3.8

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{6}{5} - 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 13.3.9

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{6}{5} + 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 13.3.10

Additionnez $\frac{6}{5}$ et $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 13.3.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 13.3.12

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Étape 13.3.13

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 13.3.13.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Étape 13.3.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.3.13.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 13.3.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 13.3.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Étape 13.3.13.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - 0)$

Étape 13.3.14

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 0)$

Étape 13.3.15

Additionnez $\frac{1}{3}$ et $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3})$

Étape 13.3.16

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6}{5} + \frac{- 2}{3}$

Étape 13.3.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{6}{5} - \frac{2}{3}$

Étape 13.3.18

Pour écrire $\frac{6}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 13.3.19

Pour écrire $- \frac{2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 13.3.20

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 13.3.20.1

Multipliez $\frac{6}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 13.3.20.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 13.3.20.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Étape 13.3.20.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{15}$

Étape 13.3.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 \cdot 3 - 2 \cdot 5}{15}$

Étape 13.3.22

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.3.22.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{18 - 2 \cdot 5}{15}$

Étape 13.3.22.2

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{18 - 10}{15}$

Étape 13.3.22.3

Soustrayez $10$ de $18$ .

$\frac{8}{15}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{8}{15}$

Forme décimale :

$0.5\overline{3}$