Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (x) d x$

Étape 1

Factorisez $\sin^{4} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

Étape 2.2

Réécrivez ${\sin (x)}^{2 (2)}$ comme une élévation à une puissance.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Étape 3

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sin^{2} (x)$ comme $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Étape 4

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Étape 4.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{0} - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{1}^{0} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Étape 6

Développez ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Réécrivez ${(1 - u^{2})}^{2}$ comme $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$- \int_{1}^{0} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \int_{1}^{0} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Étape 6.5

Déplacez $u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Étape 6.6

Déplacez $u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.7

Multipliez $1$ par $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.11

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Étape 6.13

Additionnez $2$ et $2$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Étape 6.14

Soustrayez $u^{2}$ de $- u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Étape 6.15

Remettez dans l’ordre $- 2 u^{2}$ et $u^{4}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Étape 6.16

Déplacez $1$ .

$- \int_{1}^{0} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- (\int_{1}^{0} u^{4} d u + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Étape 9

Associez $\frac{1}{5}$ et $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Étape 10

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u)$

Étape 12

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u)$

Étape 13

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + u]_{1}^{0})$

Étape 14

Associez $\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0}$ et $u]_{1}^{0}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5} + u]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}))$

Étape 15

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Évaluez $\frac{u^{5}}{5} + u$ sur $0$ et sur $1$ .

$- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}))$

Étape 15.2

Évaluez $\frac{u^{3}}{3}$ sur $0$ et sur $1$ .

$- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 15.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- (\frac{0}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 15.3.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$- (\frac{5 (0)}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 15.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 15.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 15.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{0}{1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 15.3.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- (0 + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 15.3.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$- (0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 15.3.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- (0 - (\frac{1}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 15.3.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- (0 - (\frac{1}{5} + \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 15.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- (0 - \frac{1 + 5}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 15.3.7

Additionnez $1$ et $5$ .

$- (0 - \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 15.3.8

Soustrayez $\frac{6}{5}$ de $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 15.3.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 15.3.10

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.10.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 15.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 15.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 15.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 15.3.10.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 15.3.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1}{3}))$

Étape 15.3.12

Soustrayez $\frac{1}{3}$ de $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (- \frac{1}{3}))$

Étape 15.3.13

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- (- \frac{6}{5} + 2 (\frac{1}{3}))$

Étape 15.3.14

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$- (- \frac{6}{5} + \frac{2}{3})$

Étape 15.3.15

Pour écrire $- \frac{6}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3})$

Étape 15.3.16

Pour écrire $\frac{2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Étape 15.3.17

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.17.1

Multipliez $\frac{6}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Étape 15.3.17.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Étape 15.3.17.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Étape 15.3.17.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15})$

Étape 15.3.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{- 6 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15}$

Étape 15.3.19

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.19.1

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$- \frac{- 18 + 2 \cdot 5}{15}$

Étape 15.3.19.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$- \frac{- 18 + 10}{15}$

Étape 15.3.19.3

Additionnez $- 18$ et $10$ .

$- \frac{- 8}{15}$

Étape 15.3.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{8}{15}$

Étape 15.3.21

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{8}{15})$

Étape 15.3.22

Multipliez $\frac{8}{15}$ par $1$ .

$\frac{8}{15}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{8}{15}$

Forme décimale :

$0.5\overline{3}$