Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (\frac{2 x}{3}) d x$

Étape 1

Laissez $u = \frac{2 x}{3}$ . Alors $d u = \frac{2}{3} d x$ , donc $\frac{3}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \frac{2 x}{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

Étape 1.1.2

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{2}{3}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \frac{2 x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{3}$

Étape 1.3

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $2 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3}$

Étape 1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 (1)}$

Étape 1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{1}$

Étape 1.3.1.2.4

Divisez $2 \cdot 0$ par $1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 1.3.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \frac{2 x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \frac{π}{2}}{3}$

Étape 1.5

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Étape 1.5.1

Associez $2$ et $\frac{π}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

Étape 1.5.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.1

Réduisez l’expression $\frac{2 π}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

Étape 1.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{\frac{π}{1}}{3}$

Étape 1.5.2.2

Divisez $π$ par $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{\frac{2}{3}} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{2}{3}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) (1 (\frac{3}{2})) d u$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{3}{2} d u$

Étape 2.3

Associez $\cos (u)$ et $\frac{3}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u) \cdot 3}{2} d u$

Étape 2.4

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \cos (u)}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{3}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{3}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Étape 5

Évaluez $\sin (u)$ sur $\frac{π}{3}$ et sur $0$ .

$\frac{3}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (0))$

Étape 6

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0))$

Étape 6.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0)$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0)$

Étape 6.4

Additionnez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 6.5

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Forme décimale :

$1.29903810 \dots$