Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{2} e^{8 x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{8 x}$ .

$x^{2} (\frac{1}{8} e^{8 x}) - \int \frac{1}{8} e^{8 x} (2 x) d x$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $e^{8 x}$ .

$x^{2} \frac{e^{8 x}}{8} - \int \frac{1}{8} e^{8 x} (2 x) d x$

Étape 2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{e^{8 x}}{8}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \int \frac{1}{8} e^{8 x} (2 x) d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{8} \cdot 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{8} \cdot 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot 2 \int e^{8 x} (x) d x)$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $2$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - (\frac{2}{8} \int e^{8 x} (x) d x)$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - (\frac{2 (1)}{8} \int e^{8 x} (x) d x)$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int e^{8 x} (x) d x)$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int e^{8 x} (x) d x)$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - (\frac{1}{4} \int e^{8 x} (x) d x)$

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} \int e^{8 x} (x) d x$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{8 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (x (\frac{1}{8} e^{8 x}) - \int \frac{1}{8} e^{8 x} d x)$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $e^{8 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (x \frac{e^{8 x}}{8} - \int \frac{1}{8} e^{8 x} d x)$

Étape 6.2

Associez $x$ et $\frac{e^{8 x}}{8}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \int \frac{1}{8} e^{8 x} d x)$

Étape 6.3

Associez $\frac{1}{8}$ et $e^{8 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \int \frac{e^{8 x}}{8} d x)$

Étape 7

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - (\frac{1}{8} \int e^{8 x} d x))$

Étape 8

Laissez $u = 8 x$ . Alors $d u = 8 d x$ , donc $\frac{1}{8} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Laissez $u = 8 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Différenciez $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Étape 8.1.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$8$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{8} \int e^{u} \frac{1}{8} d u)$

Étape 9

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{8} \int \frac{e^{u}}{8} d u)$

Étape 10

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{8} (\frac{1}{8} \int e^{u} d u))$

Étape 11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{1}{8}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{8 \cdot 8} \int e^{u} d u)$

Étape 11.2

Multipliez $8$ par $8$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{64} \int e^{u} d u)$

Étape 12

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{64} (e^{u} + C))$

Étape 13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Réécrivez $\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{64} (e^{u} + C))$ comme $\frac{1}{8} x^{2} e^{8 x} - \frac{1}{4} (\frac{1}{8} x e^{8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{8} x^{2} e^{8 x} - \frac{1}{4} (\frac{1}{8} x e^{8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Étape 13.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{8} e^{8 x} - \frac{1}{4} (\frac{1}{8} x e^{8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Étape 13.2.2

Associez $\frac{x^{2}}{8}$ et $e^{8 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{1}{8} x e^{8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Étape 13.2.3

Associez $\frac{1}{8}$ et $x$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x}{8} e^{8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Étape 13.2.4

Associez $\frac{x}{8}$ et $e^{8 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Étape 13.2.5

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{64}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64}) + C$

Étape 13.2.6

Pour écrire $- \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64}) \cdot \frac{8}{8} + C$

Étape 13.2.7

Associez $- \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})$ et $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} + \frac{- \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64}) \cdot 8}{8} + C$

Étape 13.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64}) \cdot 8}{8} + C$

Étape 13.2.9

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} - 8 (\frac{1}{4}) (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

Étape 13.2.10

Associez $- 8$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} + \frac{- 8}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

Étape 13.2.11

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.11.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} + \frac{4 \cdot - 2}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

Étape 13.2.11.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.11.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} + \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

Étape 13.2.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} e^{8 x} + \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

Étape 13.2.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} e^{8 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

Étape 13.2.11.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} - 2 (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} - 2 (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{8 x}}{64})}{8} + C$

Étape 15

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - 2 \frac{x e^{8 x}}{8} - 2 (- \frac{e^{8 x}}{64})}{8} + C$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{8 x}}{8} - 2 (- \frac{e^{8 x}}{64})}{8} + C$

Étape 15.2.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{8 x}}{2 \cdot 4} - 2 (- \frac{e^{8 x}}{64})}{8} + C$

Étape 15.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} e^{8 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{8 x}}{2 \cdot 4} - 2 (- \frac{e^{8 x}}{64})}{8} + C$

Étape 15.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} - 2 (- \frac{e^{8 x}}{64})}{8} + C$

Étape 15.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{8 x}}{64}$ dans le numérateur.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} - 2 \frac{- e^{8 x}}{64}}{8} + C$

Étape 15.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} + 2 (- 1) \frac{- e^{8 x}}{64}}{8} + C$

Étape 15.3.3

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{8 x}}{2 \cdot 32}}{8} + C$

Étape 15.3.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{8 x}}{2 \cdot 32}}{8} + C$

Étape 15.3.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} - \frac{- e^{8 x}}{32}}{8} + C$

Étape 15.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} - - \frac{e^{8 x}}{32}}{8} + C$

Étape 15.4.2

Multipliez $- - \frac{e^{8 x}}{32}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} + 1 \frac{e^{8 x}}{32}}{8} + C$

Étape 15.4.2.2

Multipliez $\frac{e^{8 x}}{32}$ par $1$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} + \frac{e^{8 x}}{32}}{8} + C$

Étape 16

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{8} (x^{2} e^{8 x} - \frac{1}{4} x e^{8 x} + \frac{1}{32} e^{8 x}) + C$