Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} d x$

Étape 1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{x}{{(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1}$

Étape 1.1.1.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$\frac{x}{u^{2} + 2 u + 1}$

Étape 1.1.1.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1.1.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x}{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 1.1.1.3.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

$\frac{x}{{(u + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur est du deuxième degré, les termes $2$ sont requis dans le numérateur. Le nombre de termes requis dans le numérateur est toujours égal au degré du facteur dans le dénominateur.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.5

Annulez le facteur commun de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Étape 1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.5.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.1

Annulez le facteur commun de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Étape 1.1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.6.1.2

Divisez $A x + B$ par $1$ .

$x = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.6.2

Annulez le facteur commun à ${(x^{2} + 1)}^{2}$ et $x^{2} + 1$ .

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Étape 1.1.6.2.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.6.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Étape 1.1.6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Étape 1.1.6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 1)}{1}$

Étape 1.1.6.2.2.4

Divisez $(C x + D) (x^{2} + 1)$ par $1$ .

$x = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 1)$

Étape 1.1.6.3

Développez $(C x + D) (x^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.6.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = A x + B + C x (x^{2} + 1) + D (x^{2} + 1)$

Étape 1.1.6.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 1 + D (x^{2} + 1)$

Étape 1.1.6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Étape 1.1.6.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.4.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.6.4.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Étape 1.1.6.4.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.1.6.4.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Étape 1.1.6.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Étape 1.1.6.4.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Étape 1.1.6.4.2

Multipliez $C$ par $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x + D x^{2} + D \cdot 1$

Étape 1.1.6.4.3

Multipliez $D$ par $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x + D x^{2} + D$

Étape 1.1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.7.1

Déplacez $B$ .

$x = A x + C x^{3} + C x + D x^{2} + B + D$

Étape 1.1.7.2

Déplacez $C x$ .

$x = A x + C x^{3} + D x^{2} + C x + B + D$

Étape 1.1.7.3

Déplacez $A x$ .

$x = C x^{3} + D x^{2} + A x + C x + B + D$

Étape 1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{3}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = C$

Étape 1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = D$

Étape 1.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A + C$

Étape 1.2.4

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = B + D$

Étape 1.2.5

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = C$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

$0 = C$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

Étape 1.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 1.3.1

Réécrivez l’équation comme $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

Étape 1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $0$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.2.1

Réécrivez l’équation comme $D = 0$ .

$D = 0$

$C = 0$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

Étape 1.3.2.2

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $1 = A + C$ par $0$ .

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Étape 1.3.2.3

Simplifiez $1 = A + 0$ .

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Étape 1.3.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.2.3.1.1

Supprimez les parenthèses.

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Étape 1.3.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.2.3.2.1

Additionnez $A$ et $0$ .

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $D$ par $0$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $A = 1$ .

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Étape 1.3.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $D$ dans $0 = B + D$ par $0$ .

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Étape 1.3.3.3

Simplifiez $0 = B + 0$ .

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Étape 1.3.3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.3.3.1.1

Supprimez les parenthèses.

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Étape 1.3.3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.3.2.1

Additionnez $B$ et $0$ .

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Étape 1.3.4

Réécrivez l’équation comme $B = 0$ .

$B = 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Étape 1.3.5

Résolvez le système d’équations.

$B = 0 A = 1 D = 0 C = 0$

Étape 1.3.6

Indiquez toutes les solutions.

$B = 0, A = 1, D = 0, C = 0$

Étape 1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ , $C$ et $D$ .

$\frac{1 x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 x + 0}{x^{2} + 1}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Étape 1.5.1.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.2.1

Multipliez $0$ par $x$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 + 0}{x^{2} + 1}$

Étape 1.5.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0}{x^{2} + 1}$

Étape 1.5.3

Divisez $0$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 0$

Étape 1.5.4

Supprimez le zéro de l’expression.

$\int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{u^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Étape 3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 2} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$ comme $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{2 u} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} + C$