Calcul infinitésimal Exemples

$\int e^{3 x} \cos (4 x) d x$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $e^{3 x}$ et $\cos (4 x)$ .

$\int \cos (4 x) e^{3 x} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \cos (4 x)$ et $d v = e^{3 x}$ .

$\cos (4 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (- 4 \sin (4 x)) d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3} \cdot - 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3} \cdot - 4$ en dehors de l’intégrale.

$\cos (4 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - (\frac{1}{3} \cdot - 4 \int e^{3 x} (\sin (4 x)) d x)$

Étape 4

Associez les fractions.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{3 x}$ .

$\cos (4 x) \frac{e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 4 \int e^{3 x} (\sin (4 x)) d x)$

Étape 4.2

Associez $\cos (4 x)$ et $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 4 \int e^{3 x} (\sin (4 x)) d x)$

Étape 4.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 4$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 4}{3} \int e^{3 x} (\sin (4 x)) d x)$

Étape 4.4

Remettez dans l’ordre $e^{3 x}$ et $\sin (4 x)$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 4}{3} \int \sin (4 x) e^{3 x} d x)$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sin (4 x)$ et $d v = e^{3 x}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 4}{3} (\sin (4 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (4 \cos (4 x)) d x))$

Étape 6

Comme $\frac{1}{3} \cdot 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3} \cdot 4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\cos (4 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 4}{3} (\sin (4 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - (\frac{1}{3} \cdot 4 \int e^{3 x} (\cos (4 x)) d x)))$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{3 x}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 4}{3} (\sin (4 x) \frac{e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 4 \int e^{3 x} (\cos (4 x)) d x)))$

Étape 7.2

Associez $\sin (4 x)$ et $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 4}{3} (\frac{\sin (4 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 4 \int e^{3 x} (\cos (4 x)) d x)))$

Étape 7.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $4$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 4}{3} (\frac{\sin (4 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{4}{3} \int e^{3 x} (\cos (4 x)) d x)))$

Étape 7.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (4 x) e^{3 x}}{3} - \frac{- 4}{3} \cdot \frac{\sin (4 x) e^{3 x}}{3} - \frac{- 4}{3} (- (\frac{4}{3} \int e^{3 x} (\cos (4 x)) d x))$

Étape 7.5

Multipliez $\frac{\sin (4 x) e^{3 x}}{3}$ par $\frac{- 4}{3}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (4 x) e^{3 x} \cdot - 4}{3 \cdot 3} - \frac{- 4}{3} (- (\frac{4}{3} \int e^{3 x} (\cos (4 x)) d x))$

Étape 7.6

Multipliez.

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Étape 7.6.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (4 x) e^{3 x} \cdot - 4}{9} - \frac{- 4}{3} (- (\frac{4}{3} \int e^{3 x} (\cos (4 x)) d x))$

Étape 7.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (4 x) e^{3 x} \cdot - 4}{9} + 1 (\frac{- 4}{3}) (\frac{4}{3} \int e^{3 x} (\cos (4 x)) d x)$

Étape 7.6.3

Multipliez $\frac{- 4}{3}$ par $1$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (4 x) e^{3 x} \cdot - 4}{9} + \frac{- 4}{3} (\frac{4}{3} \int e^{3 x} (\cos (4 x)) d x)$

Étape 7.7

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{- 4}{3}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (4 x) e^{3 x} \cdot - 4}{9} + \frac{4 \cdot - 4}{3 \cdot 3} \int e^{3 x} (\cos (4 x)) d x$

Étape 7.8

Multipliez.

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Étape 7.8.1

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (4 x) e^{3 x} \cdot - 4}{9} + \frac{- 16}{3 \cdot 3} \int e^{3 x} (\cos (4 x)) d x$

Étape 7.8.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (4 x) e^{3 x} \cdot - 4}{9} + \frac{- 16}{9} \int e^{3 x} (\cos (4 x)) d x$

Étape 8

En résolvant $\int e^{3 x} \cos (4 x) d x$ , nous trouvons que $\int e^{3 x} \cos (4 x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (4 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (4 x) e^{3 x} \cdot - 4}{9}}{\frac{25}{9}}$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (4 x) e^{3 x} \cdot - 4}{9}}{\frac{25}{9}} + C$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Déplacez $- 4$ à gauche de $\sin (4 x) e^{3 x}$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{3 x}}{3} - \frac{- 4 \cdot (\sin (4 x) e^{3 x})}{9}}{\frac{25}{9}} + C$

Étape 9.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{3 x}}{3} - - \frac{4 \sin (4 x) e^{3 x}}{9}}{\frac{25}{9}} + C$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{3 x}}{3} + 1 \frac{4 \sin (4 x) e^{3 x}}{9}}{\frac{25}{9}} + C$

Étape 9.1.4

Multipliez $\frac{4 \sin (4 x) e^{3 x}}{9}$ par $1$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{3 x}}{3} + \frac{4 \sin (4 x) e^{3 x}}{9}}{\frac{25}{9}} + C$

Étape 9.1.5

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{25}{9}$ .

$(\frac{\cos (4 x) e^{3 x}}{3} + \frac{4 \sin (4 x) e^{3 x}}{9}) \frac{9}{25} + C$

Étape 9.2

Réécrivez $(\frac{\cos (4 x) e^{3 x}}{3} + \frac{4 \sin (4 x) e^{3 x}}{9}) \frac{9}{25} + C$ comme $(\frac{1}{3} \cos (4 x) e^{3 x} + \frac{4}{9} \sin (4 x) e^{3 x}) \frac{9}{25} + C$ .

$(\frac{1}{3} \cos (4 x) e^{3 x} + \frac{4}{9} \sin (4 x) e^{3 x}) \frac{9}{25} + C$