Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\ln (x)}{2 x} d x$

Étape 1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 2

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} \int u d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Étape 4

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Étape 4.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} u^{2} + C$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} u^{2} + C$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$\frac{1}{4} \ln^{2} (x) + C$