Calcul infinitésimal Exemples

$\int \cos^{3} (4 x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 4 x$ . Alors $d u_{1} = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

Étape 2

Associez $\cos^{3} (u_{1})$ et $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 4

Factorisez $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 5

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cos^{2} (u_{1})$ comme $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6

Laissez $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , donc $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Étape 6.1.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{4} (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{4} (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{4} (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

Étape 11

Simplifiez

$\frac{1}{4} (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Étape 12

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 12.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

Étape 12.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$\frac{1}{4} (\sin (4 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (4 x)) + C$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Associez $\sin^{3} (4 x)$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\sin (4 x) - \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

Étape 13.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} \sin (4 x) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

Étape 13.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $\sin (4 x)$ .

$\frac{\sin (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

Étape 13.4

Multipliez $\frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3})$ .

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Étape 13.4.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{\sin^{3} (4 x)}{3}$ .

$\frac{\sin (4 x)}{4} - \frac{\sin^{3} (4 x)}{4 \cdot 3} + C$

Étape 13.4.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{\sin (4 x)}{4} - \frac{\sin^{3} (4 x)}{12} + C$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4} \sin (4 x) - \frac{1}{12} \sin^{3} (4 x) + C$