Calcul infinitésimal Exemples

Évaluer l'intégrale intégrale de sin(x)^6 par rapport à x
Étape 1
Simplifiez en factorisant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2
Réécrivez comme une élévation à une puissance.
Étape 2
Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire en .
Étape 3
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Laissez . Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.1
Différenciez .
Étape 3.1.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 3.1.4
Multipliez par .
Étape 3.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 4
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 5
Simplifiez en multipliant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Réécrivez comme un produit.
Étape 5.2
Développez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1
Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.
Étape 5.2.2
Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.
Étape 5.2.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.5
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.6
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.7
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.8
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.9
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.10
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.11
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.12
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.13
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.14
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.15
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.16
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.17
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.18
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.19
Déplacez .
Étape 5.2.20
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.21
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.22
Déplacez .
Étape 5.2.23
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.24
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.25
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.26
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.27
Déplacez .
Étape 5.2.28
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.29
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.30
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.31
Déplacez .
Étape 5.2.32
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.33
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.34
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.35
Déplacez .
Étape 5.2.36
Déplacez .
Étape 5.2.37
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.38
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.39
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.40
Déplacez .
Étape 5.2.41
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.42
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.43
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.44
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.45
Déplacez .
Étape 5.2.46
Déplacez .
Étape 5.2.47
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.48
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.49
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.50
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.51
Déplacez .
Étape 5.2.52
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.53
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.54
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.55
Déplacez .
Étape 5.2.56
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.57
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.58
Déplacez .
Étape 5.2.59
Déplacez .
Étape 5.2.60
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.61
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.62
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.63
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.64
Déplacez .
Étape 5.2.65
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.66
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.67
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.68
Déplacez .
Étape 5.2.69
Déplacez .
Étape 5.2.70
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.71
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.72
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.73
Déplacez .
Étape 5.2.74
Déplacez .
Étape 5.2.75
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.76
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.77
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.78
Déplacez .
Étape 5.2.79
Déplacez .
Étape 5.2.80
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.81
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.82
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.83
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.84
Déplacez .
Étape 5.2.85
Déplacez .
Étape 5.2.86
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.87
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.88
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.89
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.90
Déplacez .
Étape 5.2.91
Déplacez .
Étape 5.2.92
Multipliez par .
Étape 5.2.93
Multipliez par .
Étape 5.2.94
Multipliez par .
Étape 5.2.95
Multipliez par .
Étape 5.2.96
Multipliez par .
Étape 5.2.97
Multipliez par .
Étape 5.2.98
Multipliez par .
Étape 5.2.99
Multipliez par .
Étape 5.2.100
Multipliez par .
Étape 5.2.101
Associez et .
Étape 5.2.102
Multipliez par .
Étape 5.2.103
Associez et .
Étape 5.2.104
Multipliez par .
Étape 5.2.105
Associez et .
Étape 5.2.106
Multipliez par .
Étape 5.2.107
Multipliez par .
Étape 5.2.108
Associez et .
Étape 5.2.109
Multipliez par .
Étape 5.2.110
Associez et .
Étape 5.2.111
Associez et .
Étape 5.2.112
Multipliez par .
Étape 5.2.113
Multipliez par .
Étape 5.2.114
Multipliez par .
Étape 5.2.115
Multipliez par .
Étape 5.2.116
Multipliez par .
Étape 5.2.117
Multipliez par .
Étape 5.2.118
Associez et .
Étape 5.2.119
Multipliez par .
Étape 5.2.120
Multipliez par .
Étape 5.2.121
Associez et .
Étape 5.2.122
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.123
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.124
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.2.125
Additionnez et .
Étape 5.2.126
Soustrayez de .
Étape 5.2.127
Associez et .
Étape 5.2.128
Multipliez par .
Étape 5.2.129
Multipliez par .
Étape 5.2.130
Associez et .
Étape 5.2.131
Associez et .
Étape 5.2.132
Multipliez par .
Étape 5.2.133
Associez et .
Étape 5.2.134
Multipliez par .
Étape 5.2.135
Multipliez par .
Étape 5.2.136
Multipliez par .
Étape 5.2.137
Multipliez par .
Étape 5.2.138
Associez et .
Étape 5.2.139
Multipliez par .
Étape 5.2.140
Multipliez par .
Étape 5.2.141
Multipliez par .
Étape 5.2.142
Multipliez par .
Étape 5.2.143
Associez et .
Étape 5.2.144
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.145
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.146
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.2.147
Additionnez et .
Étape 5.2.148
Multipliez par .
Étape 5.2.149
Multipliez par .
Étape 5.2.150
Multipliez par .
Étape 5.2.151
Associez et .
Étape 5.2.152
Multipliez par .
Étape 5.2.153
Multipliez par .
Étape 5.2.154
Associez et .
Étape 5.2.155
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.156
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.157
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.2.158
Additionnez et .
Étape 5.2.159
Multipliez par .
Étape 5.2.160
Multipliez par .
Étape 5.2.161
Multipliez par .
Étape 5.2.162
Multipliez par .
Étape 5.2.163
Associez et .
Étape 5.2.164
Associez et .
Étape 5.2.165
Multipliez par .
Étape 5.2.166
Associez et .
Étape 5.2.167
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.168
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.169
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.2.170
Additionnez et .
Étape 5.2.171
Associez et .
Étape 5.2.172
Multipliez par .
Étape 5.2.173
Associez et .
Étape 5.2.174
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.175
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.2.176
Additionnez et .
Étape 5.2.177
Additionnez et .
Étape 5.2.178
Associez et .
Étape 5.2.179
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.180
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.181
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.182
Déplacez .
Étape 5.2.183
Déplacez .
Étape 5.2.184
Déplacez .
Étape 5.2.185
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.186
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.2.187
Additionnez et .
Étape 5.2.188
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.2.189
Soustrayez de .
Étape 5.3
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 6
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 7
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 8
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 9
Factorisez .
Étape 10
Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire comme .
Étape 11
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.1
Laissez . Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.1.1
Différenciez .
Étape 11.1.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 11.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 12
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 13
Appliquez la règle de la constante.
Étape 14
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 15
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 16
Associez et .
Étape 17
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 18
Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire en .
Étape 19
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 20
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 20.1
Multipliez par .
Étape 20.2
Multipliez par .
Étape 21
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 22
Appliquez la règle de la constante.
Étape 23
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 23.1
Laissez . Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 23.1.1
Différenciez .
Étape 23.1.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 23.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 23.1.4
Multipliez par .
Étape 23.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 24
Associez et .
Étape 25
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 26
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 27
Appliquez la règle de la constante.
Étape 28
Associez et .
Étape 29
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 30
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 31
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 32
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 32.1
Simplifiez
Étape 32.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 32.2.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 32.2.2
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 32.2.2.1
Multipliez par .
Étape 32.2.2.2
Multipliez par .
Étape 32.2.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 32.2.4
Déplacez à gauche de .
Étape 32.2.5
Additionnez et .
Étape 33
Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 33.1
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 33.2
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 33.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 33.4
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 34
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 34.1
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 34.2
Soustrayez de .
Étape 34.3
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 34.3.1
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 34.3.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 34.3.1.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 34.3.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 34.3.1.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 34.3.1.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 34.3.2
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 34.3.3
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 34.3.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 34.3.3.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 34.3.3.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 34.3.3.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 34.3.3.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 34.3.4
Multipliez par .
Étape 34.4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 34.5
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 34.5.1
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 34.5.1.1
Multipliez par .
Étape 34.5.1.2
Multipliez par .
Étape 34.5.2
Associez.
Étape 34.5.3
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 34.5.3.1
Multipliez par .
Étape 34.5.3.2
Multipliez par .
Étape 34.5.4
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 34.5.4.1
Multipliez par .
Étape 34.5.4.2
Multipliez par .
Étape 34.6
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 34.6.1
Multipliez par .
Étape 34.6.2
Multipliez par .
Étape 35
Remettez les termes dans l’ordre.