Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{2 x^{3} + 4}{x^{2} + 1}}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt{lim_{x \to 2} \frac{2 x^{3} + 4}{x^{2} + 1}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{3} + 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + 1}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{3} + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + 1}}$

Étape 4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{\frac{2 lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + 1}}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + 1}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + 1}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 1}}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 1}}$

Étape 9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 1}}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{3} + 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 1}}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{3} + 4}{2^{2} + 1}}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Multipliez $2$ par $2^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.1.1

Multipliez $2$ par $2^{3}$ .

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Étape 11.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{1} \cdot 2^{3} + 4}{2^{2} + 1}}$

Étape 11.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{\frac{2^{1 + 3} + 4}{2^{2} + 1}}$

Étape 11.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\sqrt{\frac{2^{4} + 4}{2^{2} + 1}}$

Étape 11.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\sqrt{\frac{16 + 4}{2^{2} + 1}}$

Étape 11.3

Additionnez $16$ et $4$ .

$\sqrt{\frac{20}{2^{2} + 1}}$

Étape 11.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{20}{4 + 1}}$

Étape 11.5

Additionnez $4$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{20}{5}}$

Étape 11.6

Divisez $20$ par $5$ .

$\sqrt{4}$

Étape 11.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Étape 11.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$2$