Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{4}{x^{3} + 4 x} d x$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int \frac{1}{x^{3} + 4 x} d x$

Étape 2

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 2.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + 4 x$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + 4 x}$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 4}$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot 4$ .

$\frac{1}{x (x^{2} + 4)}$

Étape 2.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur est du deuxième degré, les termes $2$ sont requis dans le numérateur. Le nombre de termes requis dans le numérateur est toujours égal au degré du facteur dans le dénominateur.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

Étape 2.1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $x (x^{2} + 4)$ .

$\frac{1 (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.1.5

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 4$ .

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Étape 2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.6.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.1.6.1.2

Divisez $A (x^{2} + 4)$ par $1$ .

$1 = A (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.1.6.3

Déplacez $4$ à gauche de $A$ .

$1 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.1.6.4

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 4$ .

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Étape 2.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.1.6.4.2

Divisez $(B x + C) (x)$ par $1$ .

$1 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (x)$

Étape 2.1.6.5

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + C x$

Étape 2.1.6.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.6.6.1

Déplacez $x$ .

$1 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x) + C x$

Étape 2.1.6.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + C x$

Étape 2.1.7

Déplacez $4 A$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + 4 A$

Étape 2.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 2.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + B$

Étape 2.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = C$

Étape 2.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = 4 A$

Étape 2.2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = 4 A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = 4 A$

Étape 2.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 2.3.1

Réécrivez l’équation comme $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = 4 A$

Étape 2.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $0$ dans chaque équation.

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Étape 2.3.2.1

Réécrivez l’équation comme $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Étape 2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $4 A = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 A = 1$ par $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

Étape 2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

Étape 2.3.2.2.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $\frac{1}{4}$ dans chaque équation.

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Étape 2.3.3.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = A + B$ par $\frac{1}{4}$ .

$0 = (\frac{1}{4}) + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$0 = \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

Étape 2.3.4

Résolvez $B$ dans $0 = \frac{1}{4} + B$ .

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{4} + B = 0$ .

$\frac{1}{4} + B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

Étape 2.3.4.2

Soustrayez $\frac{1}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

Étape 2.3.5

Résolvez le système d’équations.

$B = - \frac{1}{4} A = \frac{1}{4} C = 0$

Étape 2.3.6

Indiquez toutes les solutions.

$B = - \frac{1}{4}, A = \frac{1}{4}, C = 0$

Étape 2.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{1}{4 x} + 0}{x^{2} + 4}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{(- \frac{1}{4}) \cdot x + 0}{x^{2} + 4}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{x}{4} + 0}{x^{2} + 4}$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $- \frac{x}{4}$ et $0$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{x}{4}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} - \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{x^{2} + 4}$

Étape 2.5.4

Multipliez $\frac{1}{x^{2} + 4}$ par $\frac{x}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} - \frac{x}{(x^{2} + 4) \cdot 4}$

Étape 2.5.5

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2} + 4$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)}$

Étape 2.5.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)}$

Étape 2.5.7

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{x}$ .

$4 \int \frac{1}{4 x} - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$4 (\int \frac{1}{4 x} d x + \int - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x)$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x)$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x)$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x)$

Étape 7

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - (\frac{1}{4} \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x))$

Étape 8

Laissez $u = x^{2} + 4$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = x^{2} + 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 8.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 8.1.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 8.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Étape 9.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u} d u)$

Étape 10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 11.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 12

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{8} (\ln (| u |) + C))$

Étape 13

Simplifiez

$4 (\frac{1}{4} \ln (| x |) - \frac{1}{8} \ln (| u |)) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 4$ .

$4 (\frac{1}{4} \ln (| x |) - \frac{1}{8} \ln (| x^{2} + 4 |)) + C$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{\ln (| x |)}{4} - \frac{1}{8} \ln (| x^{2} + 4 |)) + C$

Étape 15.1.2

Associez $\ln (| x^{2} + 4 |)$ et $\frac{1}{8}$ .

$4 (\frac{\ln (| x |)}{4} - \frac{\ln (| x^{2} + 4 |)}{8}) + C$

Étape 15.2

Pour écrire $\frac{\ln (| x |)}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{\ln (| x |)}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 4 |)}{8}) + C$

Étape 15.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 15.3.1

Multipliez $\frac{\ln (| x |)}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{\ln (| x |) \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{\ln (| x^{2} + 4 |)}{8}) + C$

Étape 15.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$4 (\frac{\ln (| x |) \cdot 2}{8} - \frac{\ln (| x^{2} + 4 |)}{8}) + C$

Étape 15.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{\ln (| x |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 4 |)}{8} + C$

Étape 15.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 15.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$4 \frac{\ln (| x |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 4 |)}{4 (2)} + C$

Étape 15.5.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{\ln (| x |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 4 |)}{4 \cdot 2} + C$

Étape 15.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (| x |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 4 |)}{2} + C$

Étape 15.6

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (| x |)$ .

$\frac{2 \ln (| x |) - \ln (| x^{2} + 4 |)}{2} + C$

Étape 16

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} (2 \ln (| x |) - \ln (| x^{2} + 4 |)) + C$