Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{{(x - 2)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $u = x - 2$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Retirez $u^{\frac{3}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$\int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Étape 2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C$

Étape 4

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Étape 4.1

Réécrivez $- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C$ comme $- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} + C$ .

$- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2$ .

$- \frac{2}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + C$