Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{2} - 1}{x^{3} + x} d x$

Étape 1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{3} + x}$

Étape 1.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{3} + x}$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + x$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x}$

Étape 1.1.1.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

Étape 1.1.1.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Étape 1.1.1.3.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x^{2} + 1)}$

Étape 1.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur est du deuxième degré, les termes $2$ sont requis dans le numérateur. Le nombre de termes requis dans le numérateur est toujours égal au degré du facteur dans le dénominateur.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.1.4.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.2

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.2.2

Divisez $(x + 1) (x - 1)$ par $1$ .

$(x + 1) (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.5

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.6.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.6.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.6.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.6.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.6.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.7.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.7.1.2

Divisez $A (x^{2} + 1)$ par $1$ .

$x^{2} - 1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.7.3

Multipliez $A$ par $1$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.7.4

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 1.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.7.4.2

Divisez $(B x + C) (x)$ par $1$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

Étape 1.1.7.5

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

Étape 1.1.7.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.7.6.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

Étape 1.1.7.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

Étape 1.1.8

Déplacez $A$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Étape 1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A + B$

Étape 1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = C$

Étape 1.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$- 1 = A$

Étape 1.2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = A$

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = A$

Étape 1.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 1.3.1

Réécrivez l’équation comme $C = 0$ .

$C = 0$

$1 = A + B$

$- 1 = A$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’équation comme $A = - 1$ .

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = A + B$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- 1$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.3.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $1 = A + B$ par $- 1$ .

$1 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$C = 0$

Étape 1.3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

Étape 1.3.4

Résolvez $B$ dans $1 = - 1 + B$ .

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Étape 1.3.4.1

Réécrivez l’équation comme $- 1 + B = 1$ .

$- 1 + B = 1$

$A = - 1$

$C = 0$

Étape 1.3.4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$B = 1 + 1$

$A = - 1$

$C = 0$

Étape 1.3.4.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

Étape 1.3.5

Résolvez le système d’équations.

$B = 2 A = - 1 C = 0$

Étape 1.3.6

Indiquez toutes les solutions.

$B = 2, A = - 1, C = 0$

Étape 1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{2 x + 0}{x^{2} + 1}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{- 1}{x} + \frac{(2) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Étape 1.5.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{- 1}{x} + \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{1}{x} + \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 6

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 6.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 6.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 7.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\ln (| x |) + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$- (\ln (| x |) + C) + 1 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 9.3

Multipliez $\int \frac{1}{u} d u$ par $1$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

Étape 10

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \ln (| u |) + C$

Étape 11

Simplifiez

$- \ln (| x |) + \ln (| u |) + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$- \ln (| x |) + \ln (| x^{2} + 1 |) + C$