Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{e^{2 x}} d x$

Étape 1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1

Inversez l’exposant de $e^{2 x}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int 1 {(e^{2 x})}^{- 1} d x$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{2 x})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{2 x \cdot - 1} d x$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\int 1 e^{- 2 x} d x$

Étape 1.2.2

Multipliez $e^{- 2 x}$ par $1$ .

$\int e^{- 2 x} d x$

Étape 2

Laissez $u = - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 3.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Étape 6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Étape 7

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$- \frac{1}{2} e^{u} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$