Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{x \ln^{4} (x)} d x$

Étape 1

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{4}} d u$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Retirez $u^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{4 \cdot - 1} d u$

Étape 2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int u^{- 4} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 4}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$

Étape 4

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Étape 4.1

Réécrivez $- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$ comme $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{3}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{u^{3} \cdot 3} + C$

Étape 4.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $u^{3}$ .

$- \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$- \frac{1}{3 \ln^{3} (x)} + C$