Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{5}{9 x^{2} + 49} d x$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int \frac{1}{9 x^{2} + 49} d x$

Étape 2

Remettez dans l’ordre $9 x^{2}$ et $49$ .

$5 \int \frac{1}{49 + 9 x^{2}} d x$

Étape 3

Factorisez $9$ à partir de $49 + 9 x^{2}$ .

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Étape 3.1

Factorisez $9$ à partir de $49$ .

$5 \int \frac{1}{9 (\frac{49}{9}) + 9 x^{2}} d x$

Étape 3.2

Factorisez $9$ à partir de $9 x^{2}$ .

$5 \int \frac{1}{9 (\frac{49}{9}) + 9 (x^{2})} d x$

Étape 3.3

Factorisez $9$ à partir de $9 (\frac{49}{9}) + 9 (x^{2})$ .

$5 \int \frac{1}{9 (\frac{49}{9} + x^{2})} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{49}{9} + x^{2}} d x)$

Étape 5

Associez $\frac{1}{9}$ et $5$ .

$\frac{5}{9} \int \frac{1}{\frac{49}{9} + x^{2}} d x$

Étape 6

Réécrivez $\frac{49}{9}$ comme ${(\frac{7}{3})}^{2}$ .

$\frac{5}{9} \int \frac{1}{{(\frac{7}{3})}^{2} + x^{2}} d x$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{{(\frac{7}{3})}^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\frac{7}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{7}{3}}) + C$ .

$\frac{5}{9} (\frac{1}{\frac{7}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{7}{3}}) + C)$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{7}{3}$ .

$\frac{5}{9} (1 (\frac{3}{7}) \arctan (\frac{x}{\frac{7}{3}}) + C)$

Étape 8.1.2

Multipliez $\frac{3}{7}$ par $1$ .

$\frac{5}{9} (\frac{3}{7} \arctan (\frac{x}{\frac{7}{3}}) + C)$

Étape 8.1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{7}{3}$ .

$\frac{5}{9} (\frac{3}{7} \arctan (x \frac{3}{7}) + C)$

Étape 8.1.4

Associez $x$ et $\frac{3}{7}$ .

$\frac{5}{9} (\frac{3}{7} \arctan (\frac{x \cdot 3}{7}) + C)$

Étape 8.1.5

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{5}{9} (\frac{3}{7} \arctan (\frac{3 \cdot x}{7}) + C)$

Étape 8.1.6

Associez $\frac{3}{7}$ et $\arctan (\frac{3 x}{7})$ .

$\frac{5}{9} (\frac{3 \arctan (\frac{3 x}{7})}{7} + C)$

Étape 8.2

Réécrivez $\frac{5}{9} (\frac{3 \arctan (\frac{3 x}{7})}{7} + C)$ comme $\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{7} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$ .

$\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{7} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Multipliez $\frac{5}{9}$ par $\frac{3}{7}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 7} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Étape 8.3.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{15}{9 \cdot 7} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Étape 8.3.3

Multipliez $9$ par $7$ .

$\frac{15}{63} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Étape 8.3.4

Annulez le facteur commun à $15$ et $63$ .

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Étape 8.3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$\frac{3 (5)}{63} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Étape 8.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $63$ .

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 21} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Étape 8.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 21} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$

Étape 8.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{21} \arctan (\frac{3}{7} x) + C$