Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 x^{3} + 5 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} + 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{2} + 5 (2 x)$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 10 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{2} + 10 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x + 10 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 x + 10 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$f'' (x) = 24 x + 10$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24 x + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 3.2.3

Multipliez $24$ par $1$ .

$24 + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$24 + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $24$ et $0$ .

$f''' (x) = 24$

Étape 4

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f^{4} (x) = 0$