Calcul infinitésimal Exemples

$y = x e^{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Étape 1.3.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x e^{x} + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 2.2.4

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Étape 2.4

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Étape 2.4.1

Additionnez $e^{x}$ et $e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = e^{x} x + 2 e^{x}$

Étape 2.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x e^{x} + 2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f''' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Étape 3.2.4

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + 2 \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Additionnez $e^{x}$ et $2 e^{x}$ .

$f''' (x) = x e^{x} + 3 e^{x}$

Étape 3.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = e^{x} x + 3 e^{x}$

Étape 3.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x + 3 e^{x}$ .

$f''' (x) = x e^{x} + 3 e^{x}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x e^{x} + 3 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Étape 4.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f^{4} (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Étape 4.2.4

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} + 3 \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} + 3 e^{x}$

Étape 4.4

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Étape 4.4.1

Additionnez $e^{x}$ et $3 e^{x}$ .

$f^{4} (x) = x e^{x} + 4 e^{x}$

Étape 4.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{4} (x) = e^{x} x + 4 e^{x}$

Étape 4.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x + 4 e^{x}$ .

$f^{4} (x) = x e^{x} + 4 e^{x}$