Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x e^{- x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2}$ .

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.7.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

Étape 1.9

Multipliez $e^{- x^{2}}$ par $1$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

Étape 1.10

Simplifiez

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Étape 1.10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

Étape 1.10.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2} e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.8.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.2.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 2 (x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.9

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Étape 2.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 4 (e^{- x^{2}} (x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Étape 2.4.2.3

Déplacez $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 4 x e^{- x^{2}} - 2 x e^{- x^{2}}$

Étape 2.4.2.4

Soustrayez $2 x e^{- x^{2}}$ de $- 4 x e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 4 e^{- x^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2}} x$

Étape 2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 e^{- x^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2}} x$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x e^{- x^{2}}]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{- x^{2}}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3} e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{2}}]$ .

$f''' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Étape 3.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Étape 3.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Étape 3.2.8

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.8.1

Déplacez $x$ .

$f''' (x) = 4 (x \cdot x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Étape 3.2.8.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 3.2.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f''' (x) = 4 (x \cdot x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Étape 3.2.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f''' (x) = 4 (x^{1 + 3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Étape 3.2.8.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Étape 3.2.9

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- x^{2}}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x e^{- x^{2}}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 \frac{d}{d x} (x e^{- x^{2}})$

Étape 3.3.2

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 3.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Étape 3.3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Étape 3.3.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Étape 3.3.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Étape 3.3.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Étape 3.3.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Étape 3.3.12

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- x^{2}}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Étape 3.3.13

Multipliez $e^{- x^{2}}$ par $1$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Étape 3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}})) + 4 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Étape 3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}})) + 4 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 6 e^{- x^{2}}$

Étape 3.4.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$f''' (x) = - 8 (x^{4} (e^{- x^{2}})) + 4 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 6 e^{- x^{2}}$

Étape 3.4.3.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$f''' (x) = - 8 x^{4} e^{- x^{2}} + 12 (e^{- x^{2}} (x^{2})) - 6 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 6 e^{- x^{2}}$

Étape 3.4.3.3

Multipliez $- 2$ par $- 6$ .

$f''' (x) = - 8 x^{4} e^{- x^{2}} + 12 e^{- x^{2}} x^{2} + 12 (x^{2} (e^{- x^{2}})) - 6 e^{- x^{2}}$

Étape 3.4.3.4

Additionnez $12 e^{- x^{2}} x^{2}$ et $12 x^{2} e^{- x^{2}}$ .

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Étape 3.4.3.4.1

Déplacez $e^{- x^{2}}$ .

$f''' (x) = - 8 x^{4} e^{- x^{2}} + 12 x^{2} e^{- x^{2}} + 12 x^{2} e^{- x^{2}} - 6 e^{- x^{2}}$

Étape 3.4.3.4.2

Additionnez $12 x^{2} e^{- x^{2}}$ et $12 x^{2} e^{- x^{2}}$ .

$f''' (x) = - 8 x^{4} e^{- x^{2}} + 24 x^{2} e^{- x^{2}} - 6 e^{- x^{2}}$

Étape 3.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = - 8 e^{- x^{2}} x^{4} + 24 e^{- x^{2}} x^{2} - 6 e^{- x^{2}}$

Étape 3.4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 8 e^{- x^{2}} x^{4} + 24 e^{- x^{2}} x^{2} - 6 e^{- x^{2}}$ .

$f''' (x) = - 8 x^{4} e^{- x^{2}} + 24 x^{2} e^{- x^{2}} - 6 e^{- x^{2}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 8 x^{4} e^{- x^{2}} + 24 x^{2} e^{- x^{2}} - 6 e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 8 x^{4} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x^{2}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- 8 x^{4} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{4} e^{- x^{2}}]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{4} e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- x^{2}}]$ .

$f^{4} (x) = - 8 \frac{d}{d x} (x^{4} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 4.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.2.8

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.8.1

Déplacez $x$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x \cdot x^{4} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.2.8.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 4.2.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x \cdot x^{4} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.2.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{4} (x) = - 8 (x^{1 + 4} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.2.8.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.2.9

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x^{2} e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.3.2

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.3.8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.8.1

Déplacez $x$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.3.8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.3.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.3.8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.3.9

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

Étape 4.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 e^{- x^{2}}]$ .

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Étape 4.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 \frac{d}{d x} e^{- x^{2}}$

Étape 4.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 4.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $- x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Étape 4.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ est $a^{u_{3}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Étape 4.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $- x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Étape 4.4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2}))$

Étape 4.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 (e^{- x^{2}} (- (2 x)))$

Étape 4.4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 (e^{- x^{2}} (- 2 x))$

Étape 4.4.6

Multipliez $- 2$ par $- 6$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}})) - 8 (e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

Étape 4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}})) - 8 (e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) + 24 (e^{- x^{2}} (2 x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

Étape 4.5.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.1

Multipliez $- 2$ par $- 8$ .

$f^{4} (x) = 16 (x^{5} (e^{- x^{2}})) - 8 (e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) + 24 (e^{- x^{2}} (2 x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

Étape 4.5.3.2

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 32 (e^{- x^{2}} (x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) + 24 (e^{- x^{2}} (2 x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

Étape 4.5.3.3

Multipliez $- 2$ par $24$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 32 e^{- x^{2}} x^{3} - 48 (x^{3} (e^{- x^{2}})) + 24 (e^{- x^{2}} (2 x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

Étape 4.5.3.4

Multipliez $2$ par $24$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 32 e^{- x^{2}} x^{3} - 48 x^{3} e^{- x^{2}} + 48 (e^{- x^{2}} (x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

Étape 4.5.3.5

Soustrayez $48 x^{3} e^{- x^{2}}$ de $- 32 e^{- x^{2}} x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.5.1

Déplacez $e^{- x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 32 x^{3} e^{- x^{2}} - 48 x^{3} e^{- x^{2}} + 48 e^{- x^{2}} x + 12 e^{- x^{2}} x$

Étape 4.5.3.5.2

Soustrayez $48 x^{3} e^{- x^{2}}$ de $- 32 x^{3} e^{- x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 80 x^{3} e^{- x^{2}} + 48 e^{- x^{2}} x + 12 e^{- x^{2}} x$

Étape 4.5.3.6

Additionnez $48 e^{- x^{2}} x$ et $12 e^{- x^{2}} x$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 80 x^{3} e^{- x^{2}} + 60 e^{- x^{2}} x$

Étape 4.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{4} (x) = 16 e^{- x^{2}} x^{5} - 80 e^{- x^{2}} x^{3} + 60 e^{- x^{2}} x$

Étape 4.5.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $16 e^{- x^{2}} x^{5} - 80 e^{- x^{2}} x^{3} + 60 e^{- x^{2}} x$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 80 x^{3} e^{- x^{2}} + 60 x e^{- x^{2}}$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $16 x^{5} e^{- x^{2}} - 80 x^{3} e^{- x^{2}} + 60 x e^{- x^{2}}$ .

$16 x^{5} e^{- x^{2}} - 80 x^{3} e^{- x^{2}} + 60 x e^{- x^{2}}$