Calcul infinitésimal Exemples

$2 \sin (x) + \sin (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \sin (x) + \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$2 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 1.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Étape 1.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 2.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Étape 2.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Étape 2.3.7

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 2 \cos (x) - 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 3.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Étape 3.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (2 \cdot \cos (2 x))$

Étape 3.3.7

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f''' (x) = - 2 \cos (x) - 8 \cos (2 x)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 \cos (x) - 8 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$

Étape 4.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$

Étape 4.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \sin (x) - 8 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$2 \sin (x) - 8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 4.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Étape 4.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \sin (x) - 8 (- 2 \sin (2 x))$

Étape 4.3.7

Multipliez $- 2$ par $- 8$ .

$f^{4} (x) = 2 \sin (x) + 16 \sin (2 x)$