Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x^{2} + 8)}^{9}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{9}$ et $g (x) = x^{2} + 8$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 8$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{9}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$f' (x) = 9 u^{8} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 8$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8))$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} (2 x + \frac{d}{d x} (8))$

Étape 1.2.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} (2 x + 0)$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} (2 x)$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$f' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{8} x$

Étape 1.2.4.3

Réorganisez les facteurs de $18 {(x^{2} + 8)}^{8} x$ .

$f' (x) = 18 x {(x^{2} + 8)}^{8}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x {(x^{2} + 8)}^{8}$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 8)}^{8}]$ .

$f'' (x) = 18 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{8})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 8)}^{8}$ .

$f'' (x) = 18 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{8}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{8}$ et $g (x) = x^{2} + 8$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 8$ .

$f'' (x) = 18 (x (\frac{d}{d u} (u^{8}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 u^{7} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 8$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8))) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} (8))) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} (2 x)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4.4.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$f'' (x) = 18 (x (16 {(x^{2} + 8)}^{7} x) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 18 (x \cdot x (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 18 (x \cdot x (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 18 (x^{1 + 1} (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \cdot 1)$

Étape 2.10

Multipliez ${(x^{2} + 8)}^{8}$ par $1$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8})$

Étape 2.11

Simplifiez

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Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 8)}^{7})) + 18 {(x^{2} + 8)}^{8}$

Étape 2.11.2

Multipliez $16$ par $18$ .

$f'' (x) = 288 (x^{2} ({(x^{2} + 8)}^{7})) + 18 {(x^{2} + 8)}^{8}$

Étape 2.11.3

Factorisez $18 {(x^{2} + 8)}^{7}$ à partir de $288 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{7} + 18 {(x^{2} + 8)}^{8}$ .

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Étape 2.11.3.1

Factorisez $18 {(x^{2} + 8)}^{7}$ à partir de $288 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{7}$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 8)}^{8}$

Étape 2.11.3.2

Factorisez $18 {(x^{2} + 8)}^{7}$ à partir de $18 {(x^{2} + 8)}^{8}$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (x^{2} + 8)$

Étape 2.11.3.3

Factorisez $18 {(x^{2} + 8)}^{7}$ à partir de $18 {(x^{2} + 8)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (x^{2} + 8)$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (16 x^{2} + x^{2} + 8)$

Étape 2.11.4

Additionnez $16 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (17 x^{2} + 8)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 {(x^{2} + 8)}^{7} (17 x^{2} + 8)$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 8)}^{7} (17 x^{2} + 8)]$ .

$f''' (x) = 18 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7} (17 x^{2} + 8))$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(x^{2} + 8)}^{7}$ et $g (x) = 17 x^{2} + 8$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} \frac{d}{d x} (17 x^{2} + 8) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $17 x^{2} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (\frac{d}{d x} (17 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

Étape 3.3.2

Comme $17$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $17 x^{2}$ par rapport à $x$ est $17 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (17 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (17 (2 x) + \frac{d}{d x} (8)) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

Étape 3.3.4

Multipliez $2$ par $17$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (34 x + \frac{d}{d x} (8)) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

Étape 3.3.5

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (34 x + 0) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

Étape 3.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.6.1

Additionnez $34 x$ et $0$ .

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (34 x) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

Étape 3.3.6.2

Déplacez $34$ à gauche de ${(x^{2} + 8)}^{7}$ .

$f''' (x) = 18 (34 \cdot ({(x^{2} + 8)}^{7} x) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = x^{2} + 8$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 8$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + (17 x^{2} + 8) (\frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)))$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + (17 x^{2} + 8) (7 u^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)))$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 8$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + (17 x^{2} + 8) (7 {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)))$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Déplacez $7$ à gauche de $17 x^{2} + 8$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 \cdot ((17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8))$

Étape 3.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)))$

Étape 3.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} (2 x + \frac{d}{d x} (8)))$

Étape 3.5.4

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} (2 x + 0))$

Étape 3.5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} (2 x))$

Étape 3.5.5.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 14 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + (14 (17 x^{2}) + 14 \cdot 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

Étape 3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x) + 18 ((14 (17 x^{2}) + 14 \cdot 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

Étape 3.6.3

Multipliez $34$ par $18$ .

$f''' (x) = 612 ({(x^{2} + 8)}^{7} x) + 18 ((14 (17 x^{2}) + 14 \cdot 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

Étape 3.6.4

Multipliez $17$ par $14$ .

$f''' (x) = 612 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 18 ((238 x^{2} + 14 \cdot 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

Étape 3.6.5

Multipliez $14$ par $8$ .

$f''' (x) = 612 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 18 ((238 x^{2} + 112) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

Étape 3.6.6

Factorisez $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x$ à partir de $612 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 18 (238 x^{2} + 112) {(x^{2} + 8)}^{6} x$ .

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Étape 3.6.6.1

Factorisez $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x$ à partir de $612 {(x^{2} + 8)}^{7} x$ .

$f''' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8)) + 18 (238 x^{2} + 112) {(x^{2} + 8)}^{6} x$

Étape 3.6.6.2

Factorisez $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x$ à partir de $18 (238 x^{2} + 112) {(x^{2} + 8)}^{6} x$ .

$f''' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8)) + 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (238 x^{2} + 112)$

Étape 3.6.6.3

Factorisez $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x$ à partir de $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8)) + 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (238 x^{2} + 112)$ .

$f''' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8) + 238 x^{2} + 112)$

Étape 3.6.7

Réorganisez les facteurs de $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8) + 238 x^{2} + 112)$ .

$f''' (x) = 18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (34 (x^{2} + 8) + 238 x^{2} + 112)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (34 x^{2} + 34 \cdot 8 + 238 x^{2} + 112))$

Étape 4.1.1.2

Multipliez $34$ par $8$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (34 x^{2} + 272 + 238 x^{2} + 112))$

Étape 4.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.1.2.1

Additionnez $34 x^{2}$ et $238 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 272 + 112))$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $272$ et $112$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 384))$

Étape 4.1.3

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 384)$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 384)]$ .

$f^{4} (x) = 18 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 384))$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x {(x^{2} + 8)}^{6}$ et $g (x) = 272 x^{2} + 384$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (272 x^{2} + 384) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Étape 4.3

Différenciez.

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Étape 4.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $272 x^{2} + 384$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [272 x^{2}] + \frac{d}{d x} [384]$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (\frac{d}{d x} (272 x^{2}) + \frac{d}{d x} (384)) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Étape 4.3.2

Comme $272$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $272 x^{2}$ par rapport à $x$ est $272 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (384)) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 (2 x) + \frac{d}{d x} (384)) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Étape 4.3.4

Multipliez $2$ par $272$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (544 x + \frac{d}{d x} (384)) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Étape 4.3.5

Comme $384$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $384$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (544 x + 0) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Étape 4.3.6

Additionnez $544 x$ et $0$ .

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (544 x) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Étape 4.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (x \cdot x {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Étape 4.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (x \cdot x {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Étape 4.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{4} (x) = 18 (x^{1 + 1} {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Étape 4.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Étape 4.7.2

Déplacez $544$ à gauche de $x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6}$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 \cdot (x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6}) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Étape 4.8

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{6}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.9

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = x^{2} + 8$ .

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Étape 4.9.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 8$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (\frac{d}{d u} (u^{6}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 u^{5} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.9.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 8$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.10

Différenciez.

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Étape 4.10.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8))) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.10.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} (8))) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.10.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.10.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.10.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} (2 x)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.10.4.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (12 {(x^{2} + 8)}^{5} x) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x \cdot x (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x \cdot x (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{1 + 1} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 1))$

Étape 4.16

Multipliez ${(x^{2} + 8)}^{6}$ par $1$ .

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6}))$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6}))$ .

$18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6}))$