Calcul infinitésimal Exemples

$\int (x^{3} - 2 x^{2}) (\frac{1}{x} - 5) d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Développez $(x^{3} - 2 x^{2}) (\frac{1}{x} - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{3} (\frac{1}{x} - 5) - 2 x^{2} (\frac{1}{x} - 5) d x$

Étape 1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{3} \frac{1}{x} + x^{3} \cdot - 5 - 2 x^{2} (\frac{1}{x} - 5) d x$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{3} \frac{1}{x} + x^{3} \cdot - 5 - 2 x^{2} \frac{1}{x} - 2 x^{2} \cdot - 5 d x$

Étape 1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\int x \cdot x^{2} \frac{1}{x} + x^{3} \cdot - 5 - 2 x^{2} \frac{1}{x} - 2 x^{2} \cdot - 5 d x$

Étape 1.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\int x \cdot x^{2} \frac{1}{x} + x^{3} \cdot - 5 - 2 x^{2} \frac{1}{x} - 2 x^{2} \cdot - 5 d x$

Étape 1.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\int x^{2} + x^{3} \cdot - 5 - 2 x^{2} \frac{1}{x} - 2 x^{2} \cdot - 5 d x$

Étape 1.2.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x^{3}$ .

$\int x^{2} - 5 \cdot x^{3} - 2 x^{2} \frac{1}{x} - 2 x^{2} \cdot - 5 d x$

Étape 1.2.1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\int x^{2} - 5 x^{3} + x (- 2 x) \frac{1}{x} - 2 x^{2} \cdot - 5 d x$

Étape 1.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\int x^{2} - 5 x^{3} + x (- 2 x) \frac{1}{x} - 2 x^{2} \cdot - 5 d x$

Étape 1.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\int x^{2} - 5 x^{3} - 2 x - 2 x^{2} \cdot - 5 d x$

Étape 1.2.1.4

Multipliez $- 5$ par $- 2$ .

$\int x^{2} - 5 x^{3} - 2 x + 10 x^{2} d x$

Étape 1.2.2

Additionnez $x^{2}$ et $10 x^{2}$ .

$\int 11 x^{2} - 5 x^{3} - 2 x d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 11 x^{2} d x + \int - 5 x^{3} d x + \int - 2 x d x$

Étape 3

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , placez $11$ en dehors de l’intégrale.

$11 \int x^{2} d x + \int - 5 x^{3} d x + \int - 2 x d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$11 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 5 x^{3} d x + \int - 2 x d x$

Étape 5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$11 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 5 \int x^{3} d x + \int - 2 x d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$11 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 2 x d x$

Étape 7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$11 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 \int x d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$11 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

$\frac{11 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{4}}{4} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{11 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{4}}{4} - 2 \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 9.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{11 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{- 2 x^{2}}{2} + C$

Étape 9.2.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 9.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{11 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{2 (- x^{2})}{2} + C$

Étape 9.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{11 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{2 (- x^{2})}{2 (1)} + C$

Étape 9.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{2 (- x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Étape 9.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{11 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{- x^{2}}{1} + C$

Étape 9.2.3.2.4

Divisez $- x^{2}$ par $1$ .

$\frac{11 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{4}}{4} - x^{2} + C$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{11}{3} x^{3} - \frac{5}{4} x^{4} - x^{2} + C$