Calcul infinitésimal Exemples

$12 x {(x^{2} + 10)}^{5}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x {(x^{2} + 10)}^{5}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{5}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{5}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 10)}^{5}$ .

$12 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{5}] + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x^{2} + 10$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 10$ .

$12 (x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$12 (x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 10$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10])) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [10])) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.3

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} (2 x)) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.4.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$12 (x (10 {(x^{2} + 10)}^{4} x) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$12 (x^{1} x (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$12 (x^{1} x^{1} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 (x^{1 + 1} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \cdot 1)$

Étape 1.10

Multipliez ${(x^{2} + 10)}^{5}$ par $1$ .

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5})$

Étape 1.11

Simplifiez

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Étape 1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 10)}^{4})) + 12 {(x^{2} + 10)}^{5}$

Étape 1.11.2

Multipliez $10$ par $12$ .

$120 (x^{2} ({(x^{2} + 10)}^{4})) + 12 {(x^{2} + 10)}^{5}$

Étape 1.11.3

Factorisez $12 {(x^{2} + 10)}^{4}$ à partir de $120 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{4} + 12 {(x^{2} + 10)}^{5}$ .

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Étape 1.11.3.1

Factorisez $12 {(x^{2} + 10)}^{4}$ à partir de $120 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{4}$ .

$12 {(x^{2} + 10)}^{4} (10 x^{2}) + 12 {(x^{2} + 10)}^{5}$

Étape 1.11.3.2

Factorisez $12 {(x^{2} + 10)}^{4}$ à partir de $12 {(x^{2} + 10)}^{5}$ .

$12 {(x^{2} + 10)}^{4} (10 x^{2}) + 12 {(x^{2} + 10)}^{4} (x^{2} + 10)$

Étape 1.11.3.3

Factorisez $12 {(x^{2} + 10)}^{4}$ à partir de $12 {(x^{2} + 10)}^{4} (10 x^{2}) + 12 {(x^{2} + 10)}^{4} (x^{2} + 10)$ .

$12 {(x^{2} + 10)}^{4} (10 x^{2} + x^{2} + 10)$

Étape 1.11.4

Additionnez $10 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f' (x) = 12 {(x^{2} + 10)}^{4} (11 x^{2} + 10)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 {(x^{2} + 10)}^{4} (11 x^{2} + 10)$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{4} (11 x^{2} + 10)]$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{4} (11 x^{2} + 10)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(x^{2} + 10)}^{4}$ et $g (x) = 11 x^{2} + 10$ .

$12 ({(x^{2} + 10)}^{4} \frac{d}{d x} [11 x^{2} + 10] + (11 x^{2} + 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{4}])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $11 x^{2} + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$12 ({(x^{2} + 10)}^{4} (\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]) + (11 x^{2} + 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{4}])$

Étape 2.3.2

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11 x^{2}$ par rapport à $x$ est $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 ({(x^{2} + 10)}^{4} (11 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]) + (11 x^{2} + 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{4}])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 ({(x^{2} + 10)}^{4} (11 (2 x) + \frac{d}{d x} [10]) + (11 x^{2} + 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{4}])$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $11$ .

$12 ({(x^{2} + 10)}^{4} (22 x + \frac{d}{d x} [10]) + (11 x^{2} + 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{4}])$

Étape 2.3.5

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 ({(x^{2} + 10)}^{4} (22 x + 0) + (11 x^{2} + 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{4}])$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.1

Additionnez $22 x$ et $0$ .

$12 ({(x^{2} + 10)}^{4} (22 x) + (11 x^{2} + 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{4}])$

Étape 2.3.6.2

Déplacez $22$ à gauche de ${(x^{2} + 10)}^{4}$ .

$12 (22 \cdot {(x^{2} + 10)}^{4} x + (11 x^{2} + 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{4}])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x^{2} + 10$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 10$ .

$12 (22 {(x^{2} + 10)}^{4} x + (11 x^{2} + 10) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]))$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$12 (22 {(x^{2} + 10)}^{4} x + (11 x^{2} + 10) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]))$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 10$ .

$12 (22 {(x^{2} + 10)}^{4} x + (11 x^{2} + 10) (4 {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]))$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Déplacez $4$ à gauche de $11 x^{2} + 10$ .

$12 (22 {(x^{2} + 10)}^{4} x + 4 \cdot (11 x^{2} + 10) {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10])$

Étape 2.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$12 (22 {(x^{2} + 10)}^{4} x + 4 (11 x^{2} + 10) {(x^{2} + 10)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]))$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (22 {(x^{2} + 10)}^{4} x + 4 (11 x^{2} + 10) {(x^{2} + 10)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [10]))$

Étape 2.5.4

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 (22 {(x^{2} + 10)}^{4} x + 4 (11 x^{2} + 10) {(x^{2} + 10)}^{3} (2 x + 0))$

Étape 2.5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$12 (22 {(x^{2} + 10)}^{4} x + 4 (11 x^{2} + 10) {(x^{2} + 10)}^{3} (2 x))$

Étape 2.5.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$12 (22 {(x^{2} + 10)}^{4} x + 8 (11 x^{2} + 10) {(x^{2} + 10)}^{3} x)$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$12 (22 {(x^{2} + 10)}^{4} x + (8 (11 x^{2}) + 8 \cdot 10) {(x^{2} + 10)}^{3} x)$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$12 (22 {(x^{2} + 10)}^{4} x) + 12 ((8 (11 x^{2}) + 8 \cdot 10) {(x^{2} + 10)}^{3} x)$

Étape 2.6.3

Multipliez $22$ par $12$ .

$264 ({(x^{2} + 10)}^{4} x) + 12 ((8 (11 x^{2}) + 8 \cdot 10) {(x^{2} + 10)}^{3} x)$

Étape 2.6.4

Multipliez $11$ par $8$ .

$264 {(x^{2} + 10)}^{4} x + 12 ((88 x^{2} + 8 \cdot 10) {(x^{2} + 10)}^{3} x)$

Étape 2.6.5

Multipliez $8$ par $10$ .

$264 {(x^{2} + 10)}^{4} x + 12 ((88 x^{2} + 80) {(x^{2} + 10)}^{3} x)$

Étape 2.6.6

Factorisez $12 {(x^{2} + 10)}^{3} x$ à partir de $264 {(x^{2} + 10)}^{4} x + 12 (88 x^{2} + 80) {(x^{2} + 10)}^{3} x$ .

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Étape 2.6.6.1

Factorisez $12 {(x^{2} + 10)}^{3} x$ à partir de $264 {(x^{2} + 10)}^{4} x$ .

$12 {(x^{2} + 10)}^{3} x (22 (x^{2} + 10)) + 12 (88 x^{2} + 80) {(x^{2} + 10)}^{3} x$

Étape 2.6.6.2

Factorisez $12 {(x^{2} + 10)}^{3} x$ à partir de $12 (88 x^{2} + 80) {(x^{2} + 10)}^{3} x$ .

$12 {(x^{2} + 10)}^{3} x (22 (x^{2} + 10)) + 12 {(x^{2} + 10)}^{3} x (88 x^{2} + 80)$

Étape 2.6.6.3

Factorisez $12 {(x^{2} + 10)}^{3} x$ à partir de $12 {(x^{2} + 10)}^{3} x (22 (x^{2} + 10)) + 12 {(x^{2} + 10)}^{3} x (88 x^{2} + 80)$ .

$12 {(x^{2} + 10)}^{3} x (22 (x^{2} + 10) + 88 x^{2} + 80)$

Étape 2.6.7

Réorganisez les facteurs de $12 {(x^{2} + 10)}^{3} x (22 (x^{2} + 10) + 88 x^{2} + 80)$ .

$f'' (x) = 12 x {(x^{2} + 10)}^{3} (22 (x^{2} + 10) + 88 x^{2} + 80)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [12 x {(x^{2} + 10)}^{3} (22 x^{2} + 22 \cdot 10 + 88 x^{2} + 80)]$

Étape 3.1.1.2

Multipliez $22$ par $10$ .

$\frac{d}{d x} [12 x {(x^{2} + 10)}^{3} (22 x^{2} + 220 + 88 x^{2} + 80)]$

Étape 3.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.1.2.1

Additionnez $22 x^{2}$ et $88 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [12 x {(x^{2} + 10)}^{3} (110 x^{2} + 220 + 80)]$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $220$ et $80$ .

$\frac{d}{d x} [12 x {(x^{2} + 10)}^{3} (110 x^{2} + 300)]$

Étape 3.1.3

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x {(x^{2} + 10)}^{3} (110 x^{2} + 300)$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3} (110 x^{2} + 300)]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3} (110 x^{2} + 300)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x {(x^{2} + 10)}^{3}$ et $g (x) = 110 x^{2} + 300$ .

$12 (x {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [110 x^{2} + 300] + (110 x^{2} + 300) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3}])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $110 x^{2} + 300$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [110 x^{2}] + \frac{d}{d x} [300]$ .

$12 (x {(x^{2} + 10)}^{3} (\frac{d}{d x} [110 x^{2}] + \frac{d}{d x} [300]) + (110 x^{2} + 300) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3}])$

Étape 3.3.2

Comme $110$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $110 x^{2}$ par rapport à $x$ est $110 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 (x {(x^{2} + 10)}^{3} (110 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [300]) + (110 x^{2} + 300) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3}])$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (x {(x^{2} + 10)}^{3} (110 (2 x) + \frac{d}{d x} [300]) + (110 x^{2} + 300) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3}])$

Étape 3.3.4

Multipliez $2$ par $110$ .

$12 (x {(x^{2} + 10)}^{3} (220 x + \frac{d}{d x} [300]) + (110 x^{2} + 300) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3}])$

Étape 3.3.5

Comme $300$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $300$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 (x {(x^{2} + 10)}^{3} (220 x + 0) + (110 x^{2} + 300) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3}])$

Étape 3.3.6

Additionnez $220 x$ et $0$ .

$12 (x {(x^{2} + 10)}^{3} (220 x) + (110 x^{2} + 300) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3}])$

Étape 3.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$12 (x^{1} x {(x^{2} + 10)}^{3} \cdot 220 + (110 x^{2} + 300) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3}])$

Étape 3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$12 (x^{1} x^{1} {(x^{2} + 10)}^{3} \cdot 220 + (110 x^{2} + 300) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3}])$

Étape 3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 (x^{1 + 1} {(x^{2} + 10)}^{3} \cdot 220 + (110 x^{2} + 300) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3}])$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$12 (x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} \cdot 220 + (110 x^{2} + 300) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3}])$

Étape 3.7.2

Déplacez $220$ à gauche de $x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3}$ .

$12 (220 \cdot (x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3}) + (110 x^{2} + 300) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3}])$

Étape 3.8

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{3}] + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{2} + 10$ .

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Étape 3.9.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 10$ .

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]) + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]) + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.9.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 10$ .

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x (3 {(x^{2} + 10)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]) + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.10

Différenciez.

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Étape 3.10.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x (3 {(x^{2} + 10)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10])) + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.10.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x (3 {(x^{2} + 10)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [10])) + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.10.3

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x (3 {(x^{2} + 10)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.10.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.10.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x (3 {(x^{2} + 10)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.10.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x (6 {(x^{2} + 10)}^{2} x) + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x^{1} x (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x^{1} x^{1} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3} \cdot 1))$

Étape 3.16

Multipliez ${(x^{2} + 10)}^{3}$ par $1$ .

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17

Simplifiez

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Étape 3.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3}) + 12 ((110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.2

Multipliez $220$ par $12$ .

$2640 (x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3}) + 12 ((110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.3

Factorisez $12$ à partir de $2640 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + 12 (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3})$ .

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Étape 3.17.3.1

Factorisez $12$ à partir de $2640 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3}$ .

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3}) + 12 (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3})$

Étape 3.17.3.2

Factorisez $12$ à partir de $12 (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3})$ .

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3}) + 12 ((110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.3.3

Factorisez $12$ à partir de $12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3}) + 12 ((110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$ .

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.17.4.1

Utilisez le théorème du binôme.

$12 (220 x^{2} ({(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 10 + 3 x^{2} \cdot 10^{2} + 10^{3}) + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.17.4.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{3}$ .

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Étape 3.17.4.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 (220 x^{2} (x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 10 + 3 x^{2} \cdot 10^{2} + 10^{3}) + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.2.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$12 (220 x^{2} (x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 10 + 3 x^{2} \cdot 10^{2} + 10^{3}) + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.17.4.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 (220 x^{2} (x^{6} + 3 x^{2 \cdot 2} \cdot 10 + 3 x^{2} \cdot 10^{2} + 10^{3}) + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$12 (220 x^{2} (x^{6} + 3 x^{4} \cdot 10 + 3 x^{2} \cdot 10^{2} + 10^{3}) + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.2.3

Multipliez $10$ par $3$ .

$12 (220 x^{2} (x^{6} + 30 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 10^{2} + 10^{3}) + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.2.4

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$12 (220 x^{2} (x^{6} + 30 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 100 + 10^{3}) + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.2.5

Multipliez $100$ par $3$ .

$12 (220 x^{2} (x^{6} + 30 x^{4} + 300 x^{2} + 10^{3}) + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.2.6

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$12 (220 x^{2} (x^{6} + 30 x^{4} + 300 x^{2} + 1000) + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 (220 x^{2} x^{6} + 220 x^{2} (30 x^{4}) + 220 x^{2} (300 x^{2}) + 220 x^{2} \cdot 1000 + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.17.4.4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{6}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.17.4.4.1.1

Déplacez $x^{6}$ .

$12 (220 (x^{6} x^{2}) + 220 x^{2} (30 x^{4}) + 220 x^{2} (300 x^{2}) + 220 x^{2} \cdot 1000 + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 (220 x^{6 + 2} + 220 x^{2} (30 x^{4}) + 220 x^{2} (300 x^{2}) + 220 x^{2} \cdot 1000 + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.4.1.3

Additionnez $6$ et $2$ .

$12 (220 x^{8} + 220 x^{2} (30 x^{4}) + 220 x^{2} (300 x^{2}) + 220 x^{2} \cdot 1000 + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 (220 x^{8} + 220 \cdot 30 x^{2} x^{4} + 220 x^{2} (300 x^{2}) + 220 x^{2} \cdot 1000 + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 (220 x^{8} + 220 \cdot 30 x^{2} x^{4} + 220 \cdot 300 x^{2} x^{2} + 220 x^{2} \cdot 1000 + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.4.4

Multipliez $1000$ par $220$ .

$12 (220 x^{8} + 220 \cdot 30 x^{2} x^{4} + 220 \cdot 300 x^{2} x^{2} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.17.4.5.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.17.4.5.1.1

Déplacez $x^{4}$ .

$12 (220 x^{8} + 220 \cdot 30 (x^{4} x^{2}) + 220 \cdot 300 x^{2} x^{2} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 (220 x^{8} + 220 \cdot 30 x^{4 + 2} + 220 \cdot 300 x^{2} x^{2} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.5.1.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$12 (220 x^{8} + 220 \cdot 30 x^{6} + 220 \cdot 300 x^{2} x^{2} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.5.2

Multipliez $220$ par $30$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 220 \cdot 300 x^{2} x^{2} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.5.3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.17.4.5.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 220 \cdot 300 (x^{2} x^{2}) + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.5.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 220 \cdot 300 x^{2 + 2} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.5.3.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 220 \cdot 300 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.5.4

Multipliez $220$ par $300$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.17.4.6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{2} + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.6.2

Réécrivez ${(x^{2} + 10)}^{2}$ comme $(x^{2} + 10) (x^{2} + 10)$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{2} ((x^{2} + 10) (x^{2} + 10)) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.6.3

Développez $(x^{2} + 10) (x^{2} + 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.17.4.6.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{2} (x^{2} (x^{2} + 10) + 10 (x^{2} + 10)) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.6.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{2} (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 10 + 10 (x^{2} + 10)) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{2} (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 10 + 10 x^{2} + 10 \cdot 10) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.6.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.17.4.6.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.17.4.6.4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.17.4.6.4.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{2} (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 10 + 10 x^{2} + 10 \cdot 10) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.6.4.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{2} (x^{4} + x^{2} \cdot 10 + 10 x^{2} + 10 \cdot 10) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.6.4.1.2

Déplacez $10$ à gauche de $x^{2}$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{2} (x^{4} + 10 \cdot x^{2} + 10 x^{2} + 10 \cdot 10) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.6.4.1.3

Multipliez $10$ par $10$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{2} (x^{4} + 10 x^{2} + 10 x^{2} + 100) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.6.4.2

Additionnez $10 x^{2}$ et $10 x^{2}$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{2} (x^{4} + 20 x^{2} + 100) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.6.5

Appliquez la propriété distributive.

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{2} x^{4} + 6 x^{2} (20 x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 100 + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.6.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.17.4.6.6.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.17.4.6.6.1.1

Déplacez $x^{4}$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 (x^{4} x^{2}) + 6 x^{2} (20 x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 100 + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.6.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{4 + 2} + 6 x^{2} (20 x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 100 + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.6.6.1.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 6 x^{2} (20 x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 100 + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.6.6.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 6 \cdot 20 x^{2} x^{2} + 6 x^{2} \cdot 100 + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.6.6.3

Multipliez $100$ par $6$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 6 \cdot 20 x^{2} x^{2} + 600 x^{2} + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.6.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.17.4.6.7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.17.4.6.7.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 6 \cdot 20 (x^{2} x^{2}) + 600 x^{2} + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.6.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 6 \cdot 20 x^{2 + 2} + 600 x^{2} + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.6.7.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 6 \cdot 20 x^{4} + 600 x^{2} + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.6.7.2

Multipliez $6$ par $20$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 120 x^{4} + 600 x^{2} + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

Étape 3.17.4.6.8

Utilisez le théorème du binôme.

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 120 x^{4} + 600 x^{2} + {(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 10 + 3 x^{2} \cdot 10^{2} + 10^{3}))$

Étape 3.17.4.6.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.17.4.6.9.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.17.4.6.9.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 120 x^{4} + 600 x^{2} + x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 10 + 3 x^{2} \cdot 10^{2} + 10^{3}))$

Étape 3.17.4.6.9.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 120 x^{4} + 600 x^{2} + x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 10 + 3 x^{2} \cdot 10^{2} + 10^{3}))$

Étape 3.17.4.6.9.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.17.4.6.9.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 120 x^{4} + 600 x^{2} + x^{6} + 3 x^{2 \cdot 2} \cdot 10 + 3 x^{2} \cdot 10^{2} + 10^{3}))$

Étape 3.17.4.6.9.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 120 x^{4} + 600 x^{2} + x^{6} + 3 x^{4} \cdot 10 + 3 x^{2} \cdot 10^{2} + 10^{3}))$

Étape 3.17.4.6.9.3

Multipliez $10$ par $3$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 120 x^{4} + 600 x^{2} + x^{6} + 30 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 10^{2} + 10^{3}))$

Étape 3.17.4.6.9.4

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 120 x^{4} + 600 x^{2} + x^{6} + 30 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 100 + 10^{3}))$

Étape 3.17.4.6.9.5

Multipliez $100$ par $3$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 120 x^{4} + 600 x^{2} + x^{6} + 30 x^{4} + 300 x^{2} + 10^{3}))$

Étape 3.17.4.6.9.6

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 120 x^{4} + 600 x^{2} + x^{6} + 30 x^{4} + 300 x^{2} + 1000))$

Étape 3.17.4.7

Additionnez $6 x^{6}$ et $x^{6}$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (7 x^{6} + 120 x^{4} + 600 x^{2} + 30 x^{4} + 300 x^{2} + 1000))$

Étape 3.17.4.8

Additionnez $120 x^{4}$ et $30 x^{4}$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (7 x^{6} + 150 x^{4} + 600 x^{2} + 300 x^{2} + 1000))$

Étape 3.17.4.9

Additionnez $600 x^{2}$ et $300 x^{2}$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (7 x^{6} + 150 x^{4} + 900 x^{2} + 1000))$

Étape 3.17.4.10

Développez $(110 x^{2} + 300) (7 x^{6} + 150 x^{4} + 900 x^{2} + 1000)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 110 x^{2} (7 x^{6}) + 110 x^{2} (150 x^{4}) + 110 x^{2} (900 x^{2}) + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

Étape 3.17.4.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.17.4.11.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 110 \cdot 7 x^{2} x^{6} + 110 x^{2} (150 x^{4}) + 110 x^{2} (900 x^{2}) + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

Étape 3.17.4.11.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.17.4.11.2.1

Déplacez $x^{6}$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 110 \cdot 7 (x^{6} x^{2}) + 110 x^{2} (150 x^{4}) + 110 x^{2} (900 x^{2}) + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

Étape 3.17.4.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 110 \cdot 7 x^{6 + 2} + 110 x^{2} (150 x^{4}) + 110 x^{2} (900 x^{2}) + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

Étape 3.17.4.11.2.3

Additionnez $6$ et $2$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 110 \cdot 7 x^{8} + 110 x^{2} (150 x^{4}) + 110 x^{2} (900 x^{2}) + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

Étape 3.17.4.11.3

Multipliez $110$ par $7$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 110 x^{2} (150 x^{4}) + 110 x^{2} (900 x^{2}) + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

Étape 3.17.4.11.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 110 \cdot 150 x^{2} x^{4} + 110 x^{2} (900 x^{2}) + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

Étape 3.17.4.11.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.17.4.11.5.1

Déplacez $x^{4}$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 110 \cdot 150 (x^{4} x^{2}) + 110 x^{2} (900 x^{2}) + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

Étape 3.17.4.11.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 110 \cdot 150 x^{4 + 2} + 110 x^{2} (900 x^{2}) + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

Étape 3.17.4.11.5.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 110 \cdot 150 x^{6} + 110 x^{2} (900 x^{2}) + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

Étape 3.17.4.11.6

Multipliez $110$ par $150$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 16500 x^{6} + 110 x^{2} (900 x^{2}) + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

Étape 3.17.4.11.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 16500 x^{6} + 110 \cdot 900 x^{2} x^{2} + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

Étape 3.17.4.11.8

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.17.4.11.8.1

Déplacez $x^{2}$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 16500 x^{6} + 110 \cdot 900 (x^{2} x^{2}) + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

Étape 3.17.4.11.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 16500 x^{6} + 110 \cdot 900 x^{2 + 2} + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

Étape 3.17.4.11.8.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 16500 x^{6} + 110 \cdot 900 x^{4} + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

Étape 3.17.4.11.9

Multipliez $110$ par $900$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 16500 x^{6} + 99000 x^{4} + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

Étape 3.17.4.11.10

Multipliez $1000$ par $110$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 16500 x^{6} + 99000 x^{4} + 110000 x^{2} + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

Étape 3.17.4.11.11

Multipliez $7$ par $300$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 16500 x^{6} + 99000 x^{4} + 110000 x^{2} + 2100 x^{6} + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

Étape 3.17.4.11.12

Multipliez $150$ par $300$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 16500 x^{6} + 99000 x^{4} + 110000 x^{2} + 2100 x^{6} + 45000 x^{4} + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

Étape 3.17.4.11.13

Multipliez $900$ par $300$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 16500 x^{6} + 99000 x^{4} + 110000 x^{2} + 2100 x^{6} + 45000 x^{4} + 270000 x^{2} + 300 \cdot 1000)$

Étape 3.17.4.11.14

Multipliez $300$ par $1000$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 16500 x^{6} + 99000 x^{4} + 110000 x^{2} + 2100 x^{6} + 45000 x^{4} + 270000 x^{2} + 300000)$

Étape 3.17.4.12

Additionnez $16500 x^{6}$ et $2100 x^{6}$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 18600 x^{6} + 99000 x^{4} + 110000 x^{2} + 45000 x^{4} + 270000 x^{2} + 300000)$

Étape 3.17.4.13

Additionnez $99000 x^{4}$ et $45000 x^{4}$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 18600 x^{6} + 144000 x^{4} + 110000 x^{2} + 270000 x^{2} + 300000)$

Étape 3.17.4.14

Additionnez $110000 x^{2}$ et $270000 x^{2}$ .

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 18600 x^{6} + 144000 x^{4} + 380000 x^{2} + 300000)$

Étape 3.17.5

Additionnez $220 x^{8}$ et $770 x^{8}$ .

$12 (990 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 18600 x^{6} + 144000 x^{4} + 380000 x^{2} + 300000)$

Étape 3.17.6

Additionnez $6600 x^{6}$ et $18600 x^{6}$ .

$12 (990 x^{8} + 25200 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 144000 x^{4} + 380000 x^{2} + 300000)$

Étape 3.17.7

Additionnez $66000 x^{4}$ et $144000 x^{4}$ .

$12 (990 x^{8} + 25200 x^{6} + 210000 x^{4} + 220000 x^{2} + 380000 x^{2} + 300000)$

Étape 3.17.8

Additionnez $220000 x^{2}$ et $380000 x^{2}$ .

$12 (990 x^{8} + 25200 x^{6} + 210000 x^{4} + 600000 x^{2} + 300000)$

Étape 3.17.9

Appliquez la propriété distributive.

$12 (990 x^{8}) + 12 (25200 x^{6}) + 12 (210000 x^{4}) + 12 (600000 x^{2}) + 12 \cdot 300000$

Étape 3.17.10

Simplifiez

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Étape 3.17.10.1

Multipliez $990$ par $12$ .

$11880 x^{8} + 12 (25200 x^{6}) + 12 (210000 x^{4}) + 12 (600000 x^{2}) + 12 \cdot 300000$

Étape 3.17.10.2

Multipliez $25200$ par $12$ .

$11880 x^{8} + 302400 x^{6} + 12 (210000 x^{4}) + 12 (600000 x^{2}) + 12 \cdot 300000$

Étape 3.17.10.3

Multipliez $210000$ par $12$ .

$11880 x^{8} + 302400 x^{6} + 2520000 x^{4} + 12 (600000 x^{2}) + 12 \cdot 300000$

Étape 3.17.10.4

Multipliez $600000$ par $12$ .

$11880 x^{8} + 302400 x^{6} + 2520000 x^{4} + 7200000 x^{2} + 12 \cdot 300000$

Étape 3.17.10.5

Multipliez $12$ par $300000$ .

$f''' (x) = 11880 x^{8} + 302400 x^{6} + 2520000 x^{4} + 7200000 x^{2} + 3600000$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $11880 x^{8} + 302400 x^{6} + 2520000 x^{4} + 7200000 x^{2} + 3600000$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [11880 x^{8}] + \frac{d}{d x} [302400 x^{6}] + \frac{d}{d x} [2520000 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7200000 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3600000]$ .

$\frac{d}{d x} [11880 x^{8}] + \frac{d}{d x} [302400 x^{6}] + \frac{d}{d x} [2520000 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7200000 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3600000]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [11880 x^{8}]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $11880$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11880 x^{8}$ par rapport à $x$ est $11880 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$11880 \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [302400 x^{6}] + \frac{d}{d x} [2520000 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7200000 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3600000]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$11880 (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [302400 x^{6}] + \frac{d}{d x} [2520000 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7200000 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3600000]$

Étape 4.2.3

Multipliez $8$ par $11880$ .

$95040 x^{7} + \frac{d}{d x} [302400 x^{6}] + \frac{d}{d x} [2520000 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7200000 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3600000]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [302400 x^{6}]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $302400$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $302400 x^{6}$ par rapport à $x$ est $302400 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$95040 x^{7} + 302400 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [2520000 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7200000 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3600000]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$95040 x^{7} + 302400 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [2520000 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7200000 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3600000]$

Étape 4.3.3

Multipliez $6$ par $302400$ .

$95040 x^{7} + 1814400 x^{5} + \frac{d}{d x} [2520000 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7200000 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3600000]$

Étape 4.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2520000 x^{4}]$ .

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Étape 4.4.1

Comme $2520000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2520000 x^{4}$ par rapport à $x$ est $2520000 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$95040 x^{7} + 1814400 x^{5} + 2520000 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7200000 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3600000]$

Étape 4.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$95040 x^{7} + 1814400 x^{5} + 2520000 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [7200000 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3600000]$

Étape 4.4.3

Multipliez $4$ par $2520000$ .

$95040 x^{7} + 1814400 x^{5} + 10080000 x^{3} + \frac{d}{d x} [7200000 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3600000]$

Étape 4.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [7200000 x^{2}]$ .

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Étape 4.5.1

Comme $7200000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7200000 x^{2}$ par rapport à $x$ est $7200000 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$95040 x^{7} + 1814400 x^{5} + 10080000 x^{3} + 7200000 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3600000]$

Étape 4.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$95040 x^{7} + 1814400 x^{5} + 10080000 x^{3} + 7200000 (2 x) + \frac{d}{d x} [3600000]$

Étape 4.5.3

Multipliez $2$ par $7200000$ .

$95040 x^{7} + 1814400 x^{5} + 10080000 x^{3} + 14400000 x + \frac{d}{d x} [3600000]$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.6.1

Comme $3600000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3600000$ par rapport à $x$ est $0$ .

$95040 x^{7} + 1814400 x^{5} + 10080000 x^{3} + 14400000 x + 0$

Étape 4.6.2

Additionnez $95040 x^{7} + 1814400 x^{5} + 10080000 x^{3} + 14400000 x$ et $0$ .

$f^{4} (x) = 95040 x^{7} + 1814400 x^{5} + 10080000 x^{3} + 14400000 x$