Calcul infinitésimal Exemples

$10 x^{9} y^{5} + 7 x^{4} y^{8}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 x^{9} y^{5} + 7 x^{4} y^{8}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10 x^{9} y^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x^{9} y^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x^{9} y^{5}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $10 y^{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x^{9} y^{5}$ par rapport à $x$ est $10 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{9}]$ .

$10 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$10 y^{5} (9 x^{8}) + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $9$ par $10$ .

$90 y^{5} x^{8} + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $7 y^{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{4} y^{8}$ par rapport à $x$ est $7 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$90 y^{5} x^{8} + 7 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$90 y^{5} x^{8} + 7 y^{8} (4 x^{3})$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $7$ .

$90 y^{5} x^{8} + 28 y^{8} x^{3}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 90 x^{8} y^{5} + 28 y^{8} x^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $90 x^{8} y^{5} + 28 y^{8} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [90 x^{8} y^{5}] + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [90 x^{8} y^{5}] + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [90 x^{8} y^{5}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $90 y^{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $90 x^{8} y^{5}$ par rapport à $x$ est $90 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$90 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$90 y^{5} (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $8$ par $90$ .

$720 y^{5} x^{7} + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $28 y^{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $28 y^{8} x^{3}$ par rapport à $x$ est $28 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$720 y^{5} x^{7} + 28 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$720 y^{5} x^{7} + 28 y^{8} (3 x^{2})$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $28$ .

$720 y^{5} x^{7} + 84 y^{8} x^{2}$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 720 x^{7} y^{5} + 84 y^{8} x^{2}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $720 x^{7} y^{5} + 84 y^{8} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [720 x^{7} y^{5}] + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [720 x^{7} y^{5}] + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [720 x^{7} y^{5}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Comme $720 y^{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $720 x^{7} y^{5}$ par rapport à $x$ est $720 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$720 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$720 y^{5} (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $7$ par $720$ .

$5040 y^{5} x^{6} + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Comme $84 y^{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $84 y^{8} x^{2}$ par rapport à $x$ est $84 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5040 y^{5} x^{6} + 84 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5040 y^{5} x^{6} + 84 y^{8} (2 x)$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $84$ .

$5040 y^{5} x^{6} + 168 y^{8} x$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = 5040 x^{6} y^{5} + 168 y^{8} x$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5040 x^{6} y^{5} + 168 y^{8} x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5040 x^{6} y^{5}] + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$ .

$\frac{d}{d x} [5040 x^{6} y^{5}] + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5040 x^{6} y^{5}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Comme $5040 y^{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5040 x^{6} y^{5}$ par rapport à $x$ est $5040 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$5040 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$5040 y^{5} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$

Étape 4.2.3

Multipliez $6$ par $5040$ .

$30240 y^{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Comme $168 y^{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $168 y^{8} x$ par rapport à $x$ est $168 y^{8} \frac{d}{d x} [x]$ .

$30240 y^{5} x^{5} + 168 y^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$30240 y^{5} x^{5} + 168 y^{8} \cdot 1$

Étape 4.3.3

Multipliez $168$ par $1$ .

$30240 y^{5} x^{5} + 168 y^{8}$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{4} (x) = 168 y^{8} + 30240 x^{5} y^{5}$