Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cot (x)}{1 + \cot (x)})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = 1 + \cot (x)$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Étape 3.2

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \cot (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Étape 3.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Étape 3.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Étape 3.4

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (- \csc^{2} (x))}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Étape 3.5

Multipliez.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) + 1 \cot (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Étape 3.5.2

Multipliez $\cot (x)$ par $1$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.2.1

Associez les termes opposés dans $1 (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \csc^{2} (x)$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\cot (x) (- \csc^{2} (x))$ et $\cot (x) \csc^{2} (x)$ .

$\frac{1 (- \csc^{2} (x)) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Étape 3.6.2.1.2

Additionnez $- \csc^{2} (x) \cot (x)$ et $\csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$\frac{1 (- \csc^{2} (x)) + 0}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Étape 3.6.2.1.3

Additionnez $1 (- \csc^{2} (x))$ et $0$ .

$\frac{1 (- \csc^{2} (x))}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Étape 3.6.2.2

Multipliez $- \csc^{2} (x)$ par $1$ .

$\frac{- \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Étape 3.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{\csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$