Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4^{e^{x^{2}}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 4^{x}$ et $g (x) = e^{x^{2}}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [4^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $4$ .

$4^{u_{1}} \ln (4) \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $e^{x^{2}}$ .

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2}$ .

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2}$ .

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (2 x))$

Étape 3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 \cdot {(2^{2})}^{e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (x))$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{2 e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (x))$

Étape 4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{1 + 2 e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (x))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réorganisez les facteurs de $2^{1 + 2 e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (x))$ .

$2^{1 + 2 e^{x^{2}}} e^{x^{2}} x \ln (4)$

Étape 5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2^{1 + 2 e^{x^{2}}} e^{x^{2}} x \ln (4)$ .

$x \cdot 2^{1 + 2 e^{x^{2}}} e^{x^{2}} \ln (4)$