Calcul infinitésimal Exemples

${(x y + 1)}^{3} = x - y^{2} + 8$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(x y + 1)}^{3}) = \frac{d}{d x} (x - y^{2} + 8)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x y + 1$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x y + 1]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x y + 1]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y + 1$ .

$3 {(x y + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x y + 1]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(x y + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$3 {(x y + 1)}^{2} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y + 0)$

Étape 2.8

Additionnez $x y' + y$ et $0$ .

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y)$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y^{2} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$1 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$1 - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$1 - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 - (2 y y') + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$1 - 2 y y' + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 - 2 y y' + 0$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Additionnez $1 - 2 y y'$ et $0$ .

$1 - 2 y y'$

Étape 3.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 y y' + 1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y) = - 2 y y' + 1$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez $3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y)$ .

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Étape 5.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + 3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y) = - 2 y y' + 1$

Étape 5.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y) = - 2 y y' + 1$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y') + 3 {(x y + 1)}^{2} y = - 2 y y' + 1$

Étape 5.1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 {(x y + 1)}^{2} (x y') + 3 {(x y + 1)}^{2} y$ .

$3 x y' {(x y + 1)}^{2} + 3 y {(x y + 1)}^{2} = - 2 y y' + 1$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $y'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Ajoutez $2 y y'$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x y' {(x y + 1)}^{2} + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez ${(x y + 1)}^{2}$ comme $(x y + 1) (x y + 1)$ .

$3 x y' ((x y + 1) (x y + 1)) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.2

Développez $(x y + 1) (x y + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x y' (x y (x y + 1) + 1 (x y + 1)) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x y' (x y (x y) + x y \cdot 1 + 1 (x y + 1)) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x y' (x y (x y) + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$3 x y' (x \cdot x y \cdot y + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x y' (x^{2} y \cdot y + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$3 x y' (x^{2} (y \cdot y) + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$3 x y' (x^{2} y^{2} + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$3 x y' (x^{2} y^{2} + x y + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.3.1.4

Multipliez $x y$ par $1$ .

$3 x y' (x^{2} y^{2} + x y + x y + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.3.1.5

Multipliez $1$ par $1$ .

$3 x y' (x^{2} y^{2} + x y + x y + 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.3.2

Additionnez $x y$ et $x y$ .

$3 x y' (x^{2} y^{2} + 2 x y + 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$3 x y' (x^{2} y^{2}) + 3 x y' (2 x y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.5

Simplifiez

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Étape 5.2.2.5.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.5.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$3 (x^{2} x) y' y^{2} + 3 x y' (2 x y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.5.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 5.2.2.5.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 (x^{2} x^{1}) y' y^{2} + 3 x y' (2 x y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{2 + 1} y' y^{2} + 3 x y' (2 x y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.5.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 3 x y' (2 x y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.5.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.5.2.1

Déplacez $x$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 3 (x \cdot x) y' (2 y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.5.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 3 x^{2} y' (2 y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.5.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 3 x^{2} y' (2 y) + 3 x y' + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.6

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.7

Réécrivez ${(x y + 1)}^{2}$ comme $(x y + 1) (x y + 1)$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y ((x y + 1) (x y + 1)) + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.8

Développez $(x y + 1) (x y + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x y (x y + 1) + 1 (x y + 1)) + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x y (x y) + x y \cdot 1 + 1 (x y + 1)) + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x y (x y) + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.9.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.9.1.1.1

Déplacez $x$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x \cdot x y \cdot y + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.9.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y \cdot y + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.9.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.9.1.2.1

Déplacez $y$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} (y \cdot y) + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.9.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y^{2} + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.9.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y^{2} + x y + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.9.1.4

Multipliez $x y$ par $1$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y^{2} + x y + x y + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.9.1.5

Multipliez $1$ par $1$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y^{2} + x y + x y + 1) + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.9.2

Additionnez $x y$ et $x y$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y^{2} + 2 x y + 1) + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.10

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y^{2}) + 3 y (2 x y) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.11

Simplifiez

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Étape 5.2.2.11.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.11.1.1

Déplacez $y^{2}$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 (y^{2} y) x^{2} + 3 y (2 x y) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.11.1.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 5.2.2.11.1.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 (y^{2} y^{1}) x^{2} + 3 y (2 x y) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.11.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{2 + 1} x^{2} + 3 y (2 x y) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.11.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{3} x^{2} + 3 y (2 x y) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.11.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.11.2.1

Déplacez $y$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{3} x^{2} + 3 (y \cdot y) (2 x) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.11.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{3} x^{2} + 3 y^{2} (2 x) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.11.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{3} x^{2} + 3 y^{2} (2 x) + 3 y + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.12.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{3} x^{2} + 3 \cdot 2 y^{2} x + 3 y + 2 y y' = 1$

Étape 5.2.2.12.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{3} x^{2} + 6 y^{2} x + 3 y + 2 y y' = 1$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $3 y^{3} x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 6 y^{2} x + 3 y + 2 y y' = 1 - 3 y^{3} x^{2}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $6 y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y + 2 y y' = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x$

Étape 5.3.3

Soustrayez $3 y$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 2 y y' = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 2 y y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $3 x^{3} y' y^{2}$ .

$y' (3 x^{3} y^{2}) + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 2 y y' = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $6 x^{2} y' y$ .

$y' (3 x^{3} y^{2}) + y' (6 x^{2} y) + 3 x y' + 2 y y' = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $3 x y'$ .

$y' (3 x^{3} y^{2}) + y' (6 x^{2} y) + y' (3 x) + 2 y y' = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

Étape 5.4.4

Factorisez $y'$ à partir de $2 y y'$ .

$y' (3 x^{3} y^{2}) + y' (6 x^{2} y) + y' (3 x) + y' (2 y) = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

Étape 5.4.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 x^{3} y^{2}) + y' (6 x^{2} y)$ .

$y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y) + y' (3 x) + y' (2 y) = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

Étape 5.4.6

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y) + y' (3 x)$ .

$y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x) + y' (2 y) = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

Étape 5.4.7

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x) + y' (2 y)$ .

$y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y) = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y) = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$ par $3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y) = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$ par $3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y$ .

$\frac{y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y)}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

Étape 5.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

Étape 5.5.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

Étape 5.5.3.2

Associez en une fraction.

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Étape 5.5.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{1 - 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

Étape 5.5.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

Étape 5.5.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$