Calcul infinitésimal Exemples

$x e^{y} - 10 x + 3 y = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x e^{y} - 10 x + 3 y) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x e^{y} - 10 x + 3 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.2.5

Multipliez $e^{y}$ par $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - 10 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - 10 + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - 10 + 3 y'$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{y} x y' + 3 y' + e^{y} - 10$

Étape 2.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{y} x y' + 3 y' + e^{y} - 10$ .

$x e^{y} y' + 3 y' + e^{y} - 10$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x e^{y} y' + 3 y' + e^{y} - 10 = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x e^{y} y' + 3 y' + e^{y} - 10$ .

$x y' e^{y} + 3 y' + e^{y} - 10 = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $e^{y}$ des deux côtés de l’équation.

$x y' e^{y} + 3 y' - 10 = - e^{y}$

Étape 5.2.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x y' e^{y} + 3 y' = - e^{y} + 10$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $x y' e^{y} + 3 y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $x y' e^{y}$ .

$y' (x e^{y}) + 3 y' = - e^{y} + 10$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $3 y'$ .

$y' (x e^{y}) + y' \cdot 3 = - e^{y} + 10$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x e^{y}) + y' \cdot 3$ .

$y' (x e^{y} + 3) = - e^{y} + 10$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (x e^{y} + 3) = - e^{y} + 10$ par $x e^{y} + 3$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (x e^{y} + 3) = - e^{y} + 10$ par $x e^{y} + 3$ .

$\frac{y' (x e^{y} + 3)}{x e^{y} + 3} = \frac{- e^{y}}{x e^{y} + 3} + \frac{10}{x e^{y} + 3}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x e^{y} + 3$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x e^{y} + 3)}{x e^{y} + 3} = \frac{- e^{y}}{x e^{y} + 3} + \frac{10}{x e^{y} + 3}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- e^{y}}{x e^{y} + 3} + \frac{10}{x e^{y} + 3}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- e^{y} + 10}{x e^{y} + 3}$

Étape 5.4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{y}$ .

$y' = \frac{- (e^{y}) + 10}{x e^{y} + 3}$

Étape 5.4.3.3

Réécrivez $10$ comme $- 1 (- 10)$ .

$y' = \frac{- (e^{y}) - 1 (- 10)}{x e^{y} + 3}$

Étape 5.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (e^{y}) - 1 (- 10)$ .

$y' = \frac{- (e^{y} - 10)}{x e^{y} + 3}$

Étape 5.4.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.3.5.1

Réécrivez $- (e^{y} - 10)$ comme $- 1 (e^{y} - 10)$ .

$y' = \frac{- 1 (e^{y} - 10)}{x e^{y} + 3}$

Étape 5.4.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{e^{y} - 10}{x e^{y} + 3}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{e^{y} - 10}{x e^{y} + 3}$