Calcul infinitésimal Exemples

$s = {(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} ({(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3}})$

Étape 2

La dérivée de $s$ par rapport à $t$ est $s'$ .

$s'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{\frac{2}{3}}$ et $g (t) = 11 t - t^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $11 t - t^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $11 t - t^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Étape 3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Étape 3.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Étape 3.5.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Étape 3.6

Associez les fractions.

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Étape 3.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Étape 3.6.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(11 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(11 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Étape 3.6.3

Placez ${(11 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $11 t - t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [11 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d t} [11 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Étape 3.8

Comme $11$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $11 t$ par rapport à $t$ est $11 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Étape 3.10

Multipliez $11$ par $1$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Étape 3.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t^{2}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 - \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 - (2 t))$

Étape 3.13

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 - 2 t)$

Étape 3.14

Simplifiez

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Étape 3.14.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 - 2 t)$ .

$(11 - 2 t) \frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 3.14.2

Multipliez $11 - 2 t$ par $\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{(11 - 2 t) \cdot 2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 3.14.3

Déplacez $2$ à gauche de $11 - 2 t$ .

$\frac{2 (11 - 2 t)}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$s' = \frac{2 (11 - 2 t)}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5

Remplacez $s'$ par $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{2 (11 - 2 t)}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$